第三次习题课
内容:第二章
重点:导数与微分的概念及其理解,所有函数的求导;一般隐函数与参数方程的求导。
难点:左右导数,高阶导,隐函数与参数方程的高阶导。
专题1 导数(微分)的概念、意义以及应用
1.概念的本质:
导数:变换率的极限
微分:原函数的线性近似(以直代曲)
2.意义:导数与微分解决了自变量增量很小时函数的变化情况。导数与微分是一个大问题的两个侧面,联系紧密,但是概念绝不同!
3.应用:
(1)几何应用
1)求函数的切线或法线;
2)求函数在某点的近似值;
3)求函数单调性(下一章);
4)求函数凹凸性 (下一章);
5)为积分作预备。
我们常将“高等数学”称为“微积分”,是因为“微分”与“积分”是互逆的过程。
例1 求下列函数的导数
(1),求。
答案:
=
(2) ,求。
提示:幂指函数,换底。
(3)求。
提示:这是分段函数。
(4)设由方程组,确定了y是x的函数,求。
(答案:;
,=)
例2椭圆的参数方程 ,求它的一条与x轴交角为的切线的方程。
(答案:或)
例3 一技术人员在工作中没有带计算器,需要的近似值,问有没有办法求,近似值为多少?(答案:)
(2)物理应用举例
例4 已知物体运动规律为(米)。求当秒时物体的速度与加速度?
解: (米/秒)。
(米/秒2)
专题2 各类求导中变量的灵活处理
1.一般求导原则:由外到内,能加减不乘除,能乘不除。
2.变量之间的关系:
复合函数中有三种变量:自变量、中间变量、因变量。
方程中:牢记一个原则“一个方程解一个未知量”。那么,一个二元方程确定一个一元函数,一个参数、两个变量的参数方程确定一个一元函数。
在此类求导中,最方便的就是用的形式。如:
1),即y=f(u),u=g(v),v=h(x)。
2)
3)则
注:我们发现,学了微分以后,原来导数中是整体的,现在完全可以拆开来使用!看做两个微分的商,所以导数又叫“微商”。
例5 求参数方程的二阶导。(答案:,)
专题3 对数求导法。
作用:简化乘除为加减,化简幂指函数。
注意:幂指函数既不是幂函数,也不是指数函数,更非幂函数与指数函数的复合。
例6:求的导数。
答案:
]
例7:求的导数。
答案:
专题四 分段函数的求导法
分段函数求导:在非分段点用常规求导,在分段点用左右导数求导,注意求导前判断连续性!
注意:在求左右导数时,尽可能避免用定义求(就象前面分析分段点的连续性一样)。
例8:已知函数
,
在x=0处有二阶导,试确定a,b,c的值。
(a=-1/2,b=1,c=0)
例9 已知函数
问:1)当为何值时,函数在x=0连续;
2)当为何值时,函数在x=0可导。
(答案:>0连续;>1可导)
补充习题:
一.填空题
(1) (2)
(3) (4)
(5)若在处可导,,则
。
解 若在处可导,且,则
二.选择题
1.设则( )。
A. B. C. D.
2. 若则( )
A.B. C. D.。
3、如果处处可导,那么有
( )
(A); (B);
(C); (D).
4、若函数为可微函数,则(
)
(A)与无关;
(B)为的线性函数;
(C)当时为的高阶无穷小;
(D)与为等价无穷小.
5、设函数在点处可导,且,则 等于(
).
(A)0;
(B)-1;
(C)1;
(D).
课后练习:
一.
求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
二.求函数的高阶导的表达式
(提示:先降成一次幂)
三.求下列分段函数
的导数。
四.求参数方程的二阶导。