第三次习题课

 

内容:第二章

重点:导数与微分的概念及其理解,所有函数的求导;一般隐函数与参数方程的求导。

难点:左右导数,高阶导,隐函数与参数方程的高阶导。

 

专题1 导数(微分)的概念、意义以及应用

1.概念的本质:

导数:变换率的极限

微分:原函数的线性近似(以直代曲)

2.意义:导数与微分解决了自变量增量很小时函数的变化情况。导数与微分是一个大问题的两个侧面,联系紧密,但是概念绝不同!

   

3.应用:

1)几何应用

1)求函数的切线或法线;

2)求函数在某点的近似值;

3)求函数单调性(下一章);

4)求函数凹凸性 (下一章);

5)为积分作预备。

    我们常将“高等数学”称为“微积分”,是因为“微分”与“积分”是互逆的过程。

 

1 求下列函数的导数

1,

答案:

=

2 ,

     提示:幂指函数,换底。

3

          提示:这是分段函数。

4)设由方程组,确定了yx的函数,求

(答案:

=

 

2椭圆的参数方程 ,求它的一条与x轴交角为的切线的方程。

   (答案:

 

3 一技术人员在工作中没有带计算器,需要的近似值,问有没有办法求,近似值为多少?(答案:

 

2)物理应用举例

4 已知物体运动规律为(米)。求当秒时物体的速度与加速度?

: /秒)

/2

 

专题2 各类求导中变量的灵活处理

1.一般求导原则:由外到内,能加减不乘除,能乘不除。

2.变量之间的关系:

复合函数中有三种变量:自变量、中间变量、因变量。

方程中:牢记一个原则“一个方程解一个未知量”。那么,一个二元方程确定一个一元函数,一个参数、两个变量的参数方程确定一个一元函数。

在此类求导中,最方便的就是用的形式。如:

1,即y=f(u),u=gv),v=hx)。

   

2    

  3

 

:我们发现,学了微分以后,原来导数中是整体的,现在完全可以拆开来使用!看做两个微分的商,所以导数又叫“微商”。

 

5 求参数方程的二阶导。(答案:

 

专题3 对数求导法。

作用:简化乘除为加减,化简幂指函数。  

注意:幂指函数既不是幂函数,也不是指数函数,更非幂函数与指数函数的复合。

 

6:求的导数。

 答案:

]

7:求的导数。

答案:

 

专题四 分段函数的求导法

分段函数求导:在非分段点用常规求导,在分段点用左右导数求导,注意求导前判断连续性!

注意:在求左右导数时,尽可能避免用定义求(就象前面分析分段点的连续性一样)。

8:已知函数

x=0处有二阶导,试确定abc的值。

        a=-1/2b=1c=0

 

9 已知函数

问:1)当为何值时,函数在x=0连续;

   2)当为何值时,函数在x=0可导。

(答案:>0连续;>1可导)

 

补充习题:

一.填空题

1    2

3 4

5)若处可导,

    

解 若处可导,且

 

二.选择题

1.  )。

 A   B   C   D

2.   

AB C D

3、如果处处可导,那么有                         

 A     B

 C; (D.

 

4若函数为可微函数,则   

 A)与无关;

 B)为的线性函数;

 C)当时为的高阶无穷小;

 D)与为等价无穷小.

 

5、设函数在点处可导,且,则 等于(  .

 A0            B-1

 C1            D.

 

课后练习:

一.            求下列函数的导数:

1

2

3

 

二.求函数的高阶导的表达式

      

    (提示:先降成一次幂)

三.求下列分段函数

           

的导数。

四.求参数方程的二阶导