总复习1
典型例题精选
一、计算
1、极限与连续。
*例1 求极限(05-06)A
提示:利用重要极限。
答案:2。
例2判断极限是否存在。
提示:不存在。取直线族。
2、多元函数求偏导;极值与最值。
*例3 设,(1)求(2)设,求全微分(03-04)
答案:(1)=0
(2)
**例4 ,其中有二阶连续偏导数,求。(02-03)
答案:
**例5 在第一卦限做椭球面的切平面,使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。(07
提示:切平面的方程:
四面体体积:,拉格朗日乘数法:
提示:运算讲究技巧。(利用对称)
答案:切点坐标
**例6 ,求
答案:;
*例7 若函数在点处取得极小值,求a。
答案:a=-5.
*例8求函数在点处的梯度和沿该梯度方向的方向导数。(04-05)
答案:梯度:;梯度方向的方向导数:。
例9求曲线在点(1,2,1)处的切线方程与法平面方程。(08-09)
答案:切线:
法平面:
2、二重积分与三重积分。
*例10 计算二重积分
围成的区域。
答案:
*例11求,其中D是闭圆域(05-06)
提示:利用对称性。
答案:0。
*例12交换积分次序并计算: (04-05)
答案:
**例13 ,由确定。(05-06)
提示:利用球面坐标(此题柱面不好算)。
答案:
**例14求,其中为上半球体 (08-09)
提示:用球面坐标。
答案:
注意:不能将被积函数代4。
**例15 由锥面与平面所围成。(06-07)
提示:利用柱面或球面坐标均可以。
答案:
柱面:
球面:
=
**例16计算,
所围四面体。
提示:先一后二或先二后一均可。建议尽可能先一后二。
答案:
=
**例17求曲面被柱面
所截下的部分的面积。
答案:
D为单位圆所围的平面区域。
*例18 将下列积分化极坐标形式,并计算
答案:=
3、曲线积分与曲面积分;
*例19 ,顶点为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形的正向边界。(07-08)A
提示:直接积分或用格林公式均可。
答案:。
例20计算曲线积分,其中L是曲线。(05-06)A
提示:技巧是将取代被积函数!
答案:
例21计算曲线积分,其中是直线与两坐标轴所围成的三角形的边界。(04-05b)
答案:
注意:下限必须小于上限。
例22
从到 (06-07)
提示:加B到A的直线段后用格林公式。
答案:
(D为单位圆的上半部分)
**例23:,其中是上半球面的上侧。(05-06)A
提示:加底面(下侧)利用高斯公式。
答案:为上半球面。
***例24:计算半球面(的上侧,(08-09)
提示:加底面z=a(下侧)利用高斯公式。
答案:为上侧。
=
**例25:利用高斯公式计算为球面的外侧。(06-07)
错解:
答案:
**例26:
外侧(02-03)
提示:典型的利用高斯公式。
答案:,下面做法同上面例14。
**例27 求,其中为锥面
被平面z=0与z=3所截的部分。
注意:不要看做是二重积分。
答案:
*例28计算曲线积分(04-05)
提示:将代替被积函数。
答案:。
例29 计算其中为锥面 以及平面围成的整个边界曲面。
答案:
=
4.级数展开及其求和函数
例30将下列级数展开成幂级数,并指出收敛区间。
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
*例31:将展成x的幂级数,并指出收敛区间。(06-07)A
答案:
收敛区间:(-1,1)
**例32将展开成的幂级数,并指明展开式成立的区间。
提示:
答案:
成立区间:1<x<3
例33将展成正弦级数。(07-08)
提示:对函数作奇延拓。
答案:
级数: 。
**例34求级数的和函数
提示:利用指数函数展开式。
答案:
5.解微分方程。
*例35求的通解,。
提示:一阶线性:
答案:
**例36设可导函数满足
,
求(08-09)
提示:求导变有初值的微分方程
答案:
*例37求微分方程的通解。(04-05)B
答案:。
*例38求微分方程 的通解。
提示:利用全微分方程
答案:
*例39求欧拉方程的通解。(05-06)A
答案:令。方程变为
通解:
二、判断
*例40:判别下列级数的敛散性。
(1) (2)
提示:(1)比值加重要极限。收敛。
(2)不满足收敛必要条件。发散。
*例41求幂级数的收敛区间.(05-06)
答案:收敛区间为(注意边界)
*例42判别下列级数是否收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
(1) (2) (07-08)
答案: (1)收敛;绝对收敛(比较)。
(2)收敛,条件收敛。证明{}(在n足够大时单调减可辅助函数:,求导。
**例43判断下列级数的敛散性
(1) (2)
提示:(1)比较的极限形式(2)分情况讨论。
答案:(1)发散(2)时散,敛。
三、证明:
***例44设,(n=2,3,….)证明:当时,幂级数收敛,并求其和函数。(08-09)
提示:易证,据阿贝尔判别法
答案:设n项和为,则用错项相减:
两边同时取极限得和函数
**例45设1。证明:若收敛,则收敛。2,上述命题的逆命题是否成立?证明你的结论或给出反例。(06-07)
提示:利用不等式
逆命题不成立,反例:,其中
*例46证明下列曲线积分与路径无关并计算:
对应于从到的一段弧。(04-05)
提示:验证即可证明。
答案:0。
四、应用
例47一个半球状的雪堆,其体积融化的速度与半球面积成正比(比例常数为),假设在融化过程中雪堆始终保持半球状,已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?(02-03)
提示:
列微分方程:
有:,初值条件:
答案:,全部融化要6小时。
**例48要造一个容积等于定值k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可以使其表面积最小?
提示:设长宽高各为x,y,z
约束条件:xyz=k
用拉格朗日乘数法做。
答案:
说明:后面标注的如(06-07)表示式取自06-07年度本校的试题。
打*号的表示难度,一个*表示较为简单的基本题,两个*表示难度中等,三个*表示较难。