第六次习题课

 

内容:第十一章第一节至第三节。

重点:常数项与幂级数的审敛法。

难点:比较审敛法以及其极限形式。

 

专题:常数项级数的审敛法总结比较。

一般项级数

正项级数

交错级数

1.若,则级数收敛。

2. 时,则级数发散。

3.按照基本性质。

4.绝对收敛

 

 

4.充要条件

5.比较法

及极限形式

6.比值法

7.根值法

4. 绝对收敛

5. 莱布尼兹

(条件收敛)

 

1、 比较审敛法

优点:“放缩”灵活。缺点:要找一个级数作参照。

2、 比值审敛法

优点:方法简单,无需参照。优先选此法。

缺点:比值为1的情形无法判别。

3、 根值审敛法

优点:系数幂次较高,不易用比值时可用它。

缺点:根的极限常不易求,也存在比值为1无法判别。

 

审敛原则:

      一般项往正项靠,

放缩同阶无穷小。

      常用等比p级数,

      极限性质离不了。

常见的错误:

(1)     将级数收敛的必要条件当成充分条件。

(2)     将比较审敛法用于非正项级数。

(3)     比较审敛法的极限形式与比值审敛法混淆

 

例1.     判断下列常数项级数是否收敛

1 ­­一般项往正项靠,绝对收敛

答案:收敛。

2 常用等比p级数,比较

答案:收敛

3    常用等比p级数,

提示:遇到阶乘一般用比值(类似等比)

答案:发散。

4 放缩同阶无穷小。比较

答案:收敛。

5  极限性质离不了。

提示:用比较极限形式。易与比值混淆。注意比值是用自己的项比,比较的极限形式是与其它级数比。往往比较的极限形式是利用等价或同阶无穷小。俩级数的大小关系不是特别明朗时用。

答案:收敛。

 

2 判别下列级数的敛散性

1

提示:比较+比值。

答案:收敛。

 

2

提示:比较法的极限形式

答案:发散。

3    

提示:根值审敛法

答案:发散。

 

3 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

1

提示:遇到交错级数,一般是先打绝对值判断它是否绝对收敛,若绝对收敛,自然原级数收敛!若非绝对收敛,则用莱布尼茨判别法判断条件收敛(条件收敛不是说收敛需要条件,它本身是收敛的!)。

(答案:条件收敛)

(2)

(答案:绝对收敛)

 

(3)(207)

提示:比较前后项大小时可以用比值!

答案:发散.

 

专题:用数项级数与函数项级数的关系及解题。

关系:函数项级数当未知量取定值时即数项级数。

解题:1.函数项级数求收敛区间可以用数项级数的比值审敛法做。

2. 求数项级数的和时,先求对应函数项级数的和(可用逐项求导与逐项积分),然后代入特殊值。

 

求幂级数的收敛区间

 1

答案:  (注意边界需要另外考虑)

2    注意没有奇数项!

答案:

 

3求下列级数的和

1   2

3

提示:通过幂级数求数项级数的和。必须注意:1.级数通项加的某次幂,幂次须为了逐项求导或积分方便;2.通项中分子复杂的常先积分,分母复杂的常先求导。

答案:(18.

(提示:用x=1

x=­

25   (提示:用x=1

32ln2-1

(提示:用x=1

 

求下列幂级数的和函数

1

2

提示:(1)先逐项求导;(2)先逐项积分。(注意首项)

答案:(1

2 

 

 

补充:

1次作业第3

设级数收敛,而发散,则级数分别是(C)。

A.收敛的;      B.发散的 ;       C.发散的和可收敛可发散的; D.可收敛可发散的和发散的

 

3次作业第1

条件收敛,绝对收敛,则级数      

  收敛是显然的。假设是绝对收敛,则由可知绝对收敛,与已知矛盾。所以级数条件收敛

 

第三次作业第4

下列结论正确的是(C)。

A.  收敛,则收敛;B.若发散,则发散;C.若收敛,则收敛;   D.若收敛,则收敛。

  ABD,可举出反例。对C,因为根据课本第205页定理10可知。