第六次习题课
内容:第十一章第一节至第三节。
重点:常数项与幂级数的审敛法。
难点:比较审敛法以及其极限形式。
专题:常数项级数的审敛法总结比较。
一般项级数 |
正项级数 |
交错级数 |
1.若,则级数收敛。 2. 若时,则级数发散。 3.按照基本性质。 |
||
4.绝对收敛
|
4.充要条件 5.比较法 (及极限形式) 6.比值法 7.根值法 |
4. 绝对收敛 5. 莱布尼兹 (条件收敛)
|
1、 比较审敛法
优点:“放缩”灵活。缺点:要找一个级数作参照。
2、 比值审敛法
优点:方法简单,无需参照。优先选此法。
缺点:比值为1的情形无法判别。
3、 根值审敛法
优点:系数幂次较高,不易用比值时可用它。
缺点:根的极限常不易求,也存在比值为1无法判别。
审敛原则:
一般项往正项靠,
放缩同阶无穷小。
常用等比p级数,
极限性质离不了。
常见的错误:
(1) 将级数收敛的必要条件当成充分条件。
(2) 将比较审敛法用于非正项级数。
(3) 比较审敛法的极限形式与比值审敛法混淆
例1. 判断下列常数项级数是否收敛
(1) 一般项往正项靠,绝对收敛
答案:收敛。
(2) 常用等比p级数,比较
答案:收敛
(3) 常用等比p级数,
提示:遇到阶乘一般用比值(类似等比)。
答案:发散。
(4) 放缩同阶无穷小。比较
答案:收敛。
(5) 极限性质离不了。
提示:用比较极限形式。易与比值混淆。注意比值是用自己的项比,比较的极限形式是与其它级数比。往往比较的极限形式是利用等价或同阶无穷小。俩级数的大小关系不是特别明朗时用。
答案:收敛。
例2 判别下列级数的敛散性
(1)
提示:比较+比值。
答案:收敛。
(2)
提示:比较法的极限形式
答案:发散。
(3)
提示:根值审敛法
答案:发散。
例3 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
(1)
提示:遇到交错级数,一般是先打绝对值判断它是否绝对收敛,若绝对收敛,自然原级数收敛!若非绝对收敛,则用莱布尼茨判别法判断条件收敛(条件收敛不是说收敛需要条件,它本身是收敛的!)。
(答案:条件收敛)
(2)
(答案:绝对收敛)
(3)(书207页)
提示:比较前后项大小时可以用比值!
答案:发散.
专题:用数项级数与函数项级数的关系及解题。
关系:函数项级数当未知量取定值时即数项级数。
解题:1.函数项级数求收敛区间可以用数项级数的比值审敛法做。
2. 求数项级数的和时,先求对应函数项级数的和(可用逐项求导与逐项积分),然后代入特殊值。
例2 求幂级数的收敛区间
(1)
答案: (注意边界需要另外考虑)
(2) (注意没有奇数项!)
答案:
例3求下列级数的和
(1) (2)
(3)
提示:通过幂级数求数项级数的和。必须注意:1.级数通项加的某次幂,幂次须为了逐项求导或积分方便;2.通项中分子复杂的常先积分,分母复杂的常先求导。
答案:(1)8.
(提示:用,x=1或
,x=)
(2)5 (提示:用,x=1)
(3)2ln2-1
(提示:用,x=1)
例4 求下列幂级数的和函数
(1)
(2)
提示:(1)先逐项求导;(2)先逐项积分。(注意首项)
答案:(1) ()
(2) (
补充:
第1次作业第3 题
设级数收敛,而发散,则级数和分别是(C)。
A.收敛的; B.发散的 ; C.发散的和可收敛可发散的; D.可收敛可发散的和发散的
第3次作业第1题
若条件收敛,绝对收敛,则级数是 。
解 收敛是显然的。假设是绝对收敛,则由可知绝对收敛,与已知矛盾。所以级数条件收敛
第三次作业第4题
下列结论正确的是(C)。
A. 若收敛,则收敛;B.若发散,则发散;C.若收敛,则收敛; D.若收敛,则收敛。
解 对A,B,D,可举出反例。对C,因为,根据课本第205页定理10可知。