第三次习题课

 

内容:第九章第一节至第四节。

重点:重积分的概念、性质与计算。

难点:三重积分的计算、重积分的应用。

 

专题:重积分化累次积分的定限。

原理:用微元法先求面积,再求体积。相当于数次定积分。

定限方法:“扫描定限”(以二元为例)

原则:1)后积的定范围,先积的表示成后积的表达式。

2)扫描方式:

a竖线横扫(X-型):先积y后积x

b横线竖扫(Y-型)。先积x后积y

c射线旋转扫(极坐标)

3)当上下限(左右限)函数表达式变化时进行分段。

注意事项:

1.关于如何选积分次序,它取决于三点:1.判断是X型还是Y型。2)尽可能不分块。3)考虑被积函数先积的变量积分更简单。

2.先画图,将交点和交线表示出来。图形不一定精准,但是大小位置不能错。

3.对于三元函数的积分,(1)可以“先二后一”或“先一后二”。平行xoy面截痕易表示的用先二后一,投影且上下两部分曲面易表示的用先一后二。

个人看法,如果两种都能用,最好还是用“先一后二”。 事实上它也用的比较多。

 

1:求下列二重积分。

1D:由围成。(竖线横扫)

2

围成。

(竖线横扫:

=

3 D:y=2y=xy=2x围成。

(横线竖扫:被积函数先积x更简单

4

(横线竖扫: =0

   

5、改变下列二重积分的积分次序

1)

(答案:

2)

(答案:               

            

2:求下列三重积分。

1 为单页双曲面围成。(先二后一)

答案:0(也可以用对称性))

2

围成。(先一后二)   

围成,答案:0

3:抛物柱面及平面所围成的区域. (先一后二)   

答案

 

注意:关于三重积分,并不见得每一边界曲面都必须画得准确无误,先尽可能画准确常见的简单的曲面,对于较难画出的,有时只需知道投影或边界的范围。

4、求下列曲面所围成的立体体积:

  (含有z轴的部分)

(法1:二重积分

     答案:

2:三重积分

专题:化极坐标、球面坐标、柱面坐标问题。

1.对于二重积分化极坐标以及三重积分对于球面坐标与柱面坐标问题,一般用于被积函数或积分区域表达式含平方和的情形。柱面坐标相当于对xy是极坐标,对z是直角坐标,球面坐标相当于完全是极坐标。注意扫描方式的不同。

2.柱面坐标实际上还是“先一后二”,只是后面的“二”将之化为二重的极坐标;球面坐标的扫描方式很特殊,先固定,先用射线定,再对分别旋转扫描。

3.关于何时用柱面,何时用球面。一般原则是:当被积范围是柱体,用柱面;当被积范围是椎体、球体、椭球体等,用球面。

 

3.将下列积分改为极坐标下的积分。

1  D:(区域平方和)

2  (被积平方和)

 

注意下面错误的定限:,知道问题出在那里吗?)

3(环)

4、设平面薄片所占的闭区域D由螺线   上的一段弧与直线  围成,它的面密度为。求这个薄片的质量。9716题)

 

4:用球面坐标或柱面坐标计算下列三重积分。

1、计算围成。(区域平方和,椎、球体)

(球面坐标:(注意关于zoy对称)

 

2是由柱面及平面z=1x=0y=0围成的在第一卦限的闭区域。

(区域平方和,柱体,柱面坐标:

)

 

3.计算,其中

围成。

柱面坐标

此题也可用球面坐标,但是需要分块,较麻烦。)

 

4.计算,其中

球、椎体;用球面坐标:

 

专题:关于重积分的证明题。

一般方法:1.交换积分次序。

2.二重积分与一重积分互换。

 

5.证明与应用:

(提示:交换积分次序即可)

 

6.证明:

(提示:一重积分化二重积分)

 

应用题:

7.求锥面被柱面所割下部分的面积。

    答案:

 

补充题:

1.把二重积分化为极坐标系下的二次积分为                      ,其中D 所围成。

答案:

 

2

  A

B

C

D

答案:

 

3.设,其中所围成的区域,用先二后一法化为下列积分,正确的是            

  A B

C D

答案:B

 

4所围成的区域,用先一后二法化为下列积分,形式正确的是                                    

  A

 B

C

 D

答案:D

 

5把三次积分

化为在球面坐标系下的三次积分为         

解: 

 

 

6

  A

 B

C

D

答案:A

 

7.把化为先xy的二次积分为:            

答案: