第二次习题课
内容:第八章第六节至第八节。
重点:多元函数的微分、多元函数的极值。
难点:方向导数与梯度。
专题:空间曲线与曲面的几何问题。
曲线的切线—与二元函数的偏导数有关。
曲面的切平面—与二元函数的微分有关。
例1.空间曲面的方程为
求其在点(1,1,1)处的切平面方程。用平面:截此曲面,求其交线在(1,1,1)的切线方程。并验证此切线在上述切平面上。
(切平面:
切线: ,用参数方程代入验证。)
例2.求椭球面确定的隐函数z=f(x,y)在点(1/2,1/2)的全微分。并求椭球面在点(1/2,1/2,1/2)的切平面方程。由此题可以得出什么结论?
(答案:,
在点(1/2,1/2)的全微分:,
切平面:
结论:全微分确定的平面即为切平面。)
专题:多元函数极值与最值与一元函数极值最值的比较:
|
一元函数 |
多元函数 |
|
极值 |
必要 条件 |
驻点: |
驻点: |
充分 条件1 |
驻点+ (不能判别) |
驻点+ (A<0极大,A>0极小) 无极值 (不能判别) |
|
充分 条件2 |
驻点+左右单调性相反 |
--- |
|
最值 |
必要 条件 |
极值点或边界点 |
极值点或边界曲线上的点 |
充分 条件 |
闭区间连续函数所有极值点、边界点中的最大(小)值 |
闭区域连续函数所有极值点、边界线中的最大(小)值 |
|
充分 条件2 |
具体应用时唯一的驻点。 |
具体应用时唯一的驻点。 |
例3.求函数
在的极值与最值。
(内部:极大值 ;
边界线上的可能最值点:
最大:,最小:,)
例4.求由方程
确定的函数z=f(x,y)的极值。
(驻点:(1,-1),此时z有两个值:6与-2,说明此方程确定两个函数分支,z=6的分支为极大值,z=-2的分支为极小值。)
例5.抛物面被截成一椭圆,求原点到椭圆的最长距离与最短距离。
(距离:,拉格朗日函数:
驻点:;
最长:,最短:。
例6 求内接于半径a的球且有最大体积的长方体。
(拉格朗日乘数法,各边边长为时,体积最大,最大值为:)
专题3 方向导数、梯度、偏导数与微分的关系。
可微有任意方向的方向导数
方向导数偏导
方向导数梯度(值)
等高线的方向梯度的方向
注意:偏导、方向导数均是数量,梯度是向量。方向导数可以看作是梯度在此方向的投影。
例7.求函数在曲线上点(1,1,1)沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。并求此点梯度以及沿着梯度方向的方向导数。最后的结论说明什么?
(切线正向:{1,2,3}, 方向导数:
梯度:{2,2,2},方向导数:。此方向导数值即为梯度的模。说明梯度方向就是方向导数最大的方向。换句话说,梯度的模即为最大的方向导数。)
例8:(练习册)求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。
(答案:
)
例9.在椭球面上求一点,使得函数在该点沿的方向导数为最大。
(设此点为()方向导数:
构造拉格朗日函数:
答案:最大值点:(-1/2,1/2), 最大值:1)
补充题:
1.求曲线上的点,使
在该点的切线平行于平面。
解: 切向量
平面法向量,
即,所求的点为。
2.求曲面到平面的最短距离。
解: 曲面上点到平面
的距离为:,
因为与极大值相同,令:
由
解得,
可能的极值点为:
,
比较得 。
3.设是由方程 所确定的隐函数,则当时,.
; ;
;
(答案:D)