总复习1

 

       本高等数学1讲的内容基本可以归结为:一个思想:极限的思想;两个体现:微分与积分。

 

一.基本概念及其计算

1.求极限;2.求导数与微分;

3.求极值、最值;4.求不定积分;

5.求定积分;6.求面积、体积与弧长;

7.求平面与直线的方程。

 

二.应用(重点是几何应用):

1.利用导数求切线;

2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长;

3.最值问题。

 

 

综合练习(精选)

 

一.         计算

1.                       计算下列极限

   说明:在习题课上已经总结了许多求极限的方法。但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。

*1

答案:

*2

提示:通分后用罗比达。答案:0

 

*304-05  

提示:罗比达结合重要极限。  答案:-1

  

**408-09

答案:0

 

**5

提示:等价无穷小替换。答案:1 

**607-08

提示:重要极限结合罗比达。答案:

*7

提示:分母有理化  答案:2      

*8 07-08

答案:1 

9   

答案:0

**10   

提示:注意变上限积分求导。答案:1/2

 

2.计算下列导数

 *1,求

答案:

**2

 

 

答案

*3,求

            答案:

**4 ,求

提示:严格按照定义求。   答案: 0      

**5)设06-07

答案: 

  

*6)已知,求

答案:1

*7)已知,求

答案:

*802-03

答案:     

3.计算下列不定积分

*1

提示:分部。   答案:

 

*208-09

提示:凑微分.

*3

提示:1/x凑微分加半角公式.

答案:  

*4

提示:cotx化正余弦。答案:  

**5

提示:凑微分后化有理。

         

**6

提示:分子有理化。

答案:

**707-08

提示:第二类换元

答案:  

**8

提示:分部消x.

答案:

 

**9

答案:

**(10)

提示:

4.计算下列定积分

*1

提示:先用倍角公式再分部。答案:   

*2 02-03

提示:利用奇偶函数。答案: 

**396-97

提示:分段、换元、抵消。

答案:      

 *4

提示:利用偶函数。答案:

5)设.

答案:

6

提示:暇积分    答案:1

7 

提示:分部。答案:     

8 

提示:暇积分。    答案:发散

9     

答案:  

**(10)            

提示:注意对于无穷限的积分若两边都是无穷,应该分别取极限。不能用奇函数性质。答案:0

 

5.向量代数、平面与直线等。

    说明:此部分题目以平面与直线为多。单纯向量的运算的较少。

*1直线,与平面平行,又与直线垂直,求直线的方程.08-09

提示:直线与平面的法线以及另一直线的方向向量均垂直。用外积。

答案: 

 

*2)已知直线

a.求的方向向量;b,验证:平行;c,求过的平面方程。05-06

答案:的方向向量:{3-2,1} 

  

 

3)求经过点A-1,2,3),垂直于直线

          

且与平面平行的直线方程。

     答案: 

**4)求直线与直线间的距离。

提示:这是平行线。(答案:

5)求过直线且与平面角的平面方程。

 提示:利用平面束。

 答案:

6)求过点M1,1,1)且与直线都相交的直线方程。

答案:

 

二、判别

1.有关连续性、间断点、可导性等判别

 

**1)讨论函数的连续性,如有间断点,说明其类型.

  

答案:x=0间断,第一类跳跃间断点。

*2)设函数上连续,求a 

答案:  

**3)设,求fx)的间断点并说明其类型。

答案:x=1:第二类无穷,x=0:第一类跳跃

 

***4)已知其中有二阶连续导数,且g0=1.

1)、确定的值,使点连续;

2)、求

      (答案:1

2.

2.曲线的性状的判别

1的单调区间,极值点;凹凸区间和拐点。06-07

  答案:

单调增单调减,x=1极大.

凸,凹。X=2为拐点。

2a的单调区间,凹凸区间和拐点。

b)已知直角三角形的斜边长为,当两条直角边长为何值时,其周长最大?05-06

答案:

单调区间:x<0,单调减,单调增

凹凸区间:为拐点,

:凸;;凹,:凸

 

3)绘出函数的图形。

4)求函数的凹凸区间与拐点。

答案:

拐点

:凸:凹:凸:凹

 

三、证明:

说明:证明题主要出现在第三章的微分中值定理以及定积分部分。

 

*1. (不等式)试证:当时,有成立

提示:在利用增函数。

**2.(不等式)证明:

提示:令利用函数的凹性。

    

**3.(导数中值)设上连续,且

证明:

1)存在使

2).存在使得 05-06

(提示:1)令

2)先对fx)用中值定理得存在使得然后对用介值定理。)

 

**4. (中值,定积分)设函数在闭区间上连续,证明:至少存在一点,使得:

. 08-09

提示:令,然后在上用罗尔定理即可。

 

***5.(根的存在及个数)证明方程有且仅有三个实根.

提示:易知有两个实根x=01.[2,又可以据介值定理找到一个实根。最后用反证法可以证明仅有三个实根。逐一用罗尔定理,可以证明如有四个根,那么其三阶导必有一个值为零……

 

**6.(定积分)f(x)[a,b]上的单调增加的连续函数,求证:

提示:不等式等价于

即:

则此式成为

则此式成为

故(注意:T-a=b-T):

。。。

 

**7.(定积分)设上连续,是偶函数,满足条件为常数)

1)证明: 

2)计算 06-07

提示:积分区间对半,换元。

2)令

答案:原式==  

 

*8. 上连续,在内可导,且,证明:存在,使 00-01

   提示:利用积分中值定理在[2/3,1]找到一点的值为f0)。

 

9. 设函数上连续,单调不减且,试证:函数

上连续,且单调不减。(其中02-03

提示:要证明x=0右连续。同时:x>0

据积分中值定理:

fx)单调不减立即可得:

 

四、应用题

   应用题大部分在于定积分微元法的几何应用。有一部分是极值问题。

*1. 求由抛物线所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。05-06

答案:面积:   

体积:

**2.求由以及所围成的平面图形的面积,又当k为何值时该面积最小?04-05

答案:面积:

k=时面积最小   

 

*3. 求由曲线y=x3与直线y=-x+2x=0围成的平面图形面积.

答案:5/4  

 

**4.一根弹簧按阿基米德螺线盘绕,共10圈,每圈间隔10mm,求弹簧全长。

答案:

 

**5. 在半径为r的半圆内,作一个内接梯形,其底为半圆的直径,其他三边为半圆的弦.问怎样作法梯形面积最大?

答:设高为h。面积S=

 

时面积最大。

 

**6. 从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁,此矩形的底等于b,高为h,若梁的强度与成正比,问梁的横断面尺寸如何,其强度最大?

答:设强度为Q

b=时强度最大。

 

**7. 要制造一个无盖的圆柱形桶,体积为。问底半径等于多少时,才能使表面积最小?06-07

答:

表面积:

令其为零,得

说明:后面标注的如(06-07)表示式取自06-07年度本校的试题。

*号的表示难度,一个*表示较为简单的基本题,两个*表示难度中等,三个*表示较难。