总复习1
本高等数学1讲的内容基本可以归结为:一个思想:极限的思想;两个体现:微分与积分。
一.基本概念及其计算
1.求极限;2.求导数与微分;
3.求极值、最值;4.求不定积分;
5.求定积分;6.求面积、体积与弧长;
7.求平面与直线的方程。
二.应用(重点是几何应用):
1.利用导数求切线;
2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长;
3.最值问题。
综合练习(精选)
一.
计算
1.
计算下列极限
说明:在习题课上已经总结了许多求极限的方法。但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。
*(1)
答案:
*(2)
提示:通分后用罗比达。答案:0
*(3) (04-05)
提示:罗比达结合重要极限。 答案:-1
**(4)(08-09)
答案:0
**(5)
提示:等价无穷小替换。答案:1
**(6)(07-08)
提示:重要极限结合罗比达。答案:
*(7)
提示:分母有理化 答案:2
*(8) (07-08)
答案:1
(9)
答案:0
**(10)
提示:注意变上限积分求导。答案:1/2
2.计算下列导数
*(1)
,求
答案:
**(2),求
答案:
*(3),求。
答案:
**(4) ,求
提示:严格按照定义求。 答案: 0
**(5)设求(06-07)
答案:
*(6)已知,求
答案:1。
*(7)已知,求.
答案:
*(8),求(02-03)
答案:
3.计算下列不定积分
*(1)
提示:分部。 答案:
*(2)(08-09)
提示:凑微分.
*(3)
提示:1/x凑微分加半角公式.
答案:
*(4)
提示:cotx化正余弦。答案:
**(5)
提示:凑微分后化有理。
**(6)
提示:分子有理化。
答案:
**(7)(07-08)
提示:第二类换元。
答案:
**(8)
提示:分部消x.
答案:
**(9)
答案:
**(10)
提示:
4.计算下列定积分
*(1)
提示:先用倍角公式再分部。答案:
*(2) (02-03)
提示:利用奇偶函数。答案:
**(3)(96-97)
提示:分段、换元、抵消。
答案:
*(4)
提示:利用偶函数。答案:
(5)设求.
答案:
(6)
提示:暇积分 答案:1。
(7) 求
提示:分部。答案:
(8)
提示:暇积分。 答案:发散
(9)
答案:
**(10)
提示:注意对于无穷限的积分若两边都是无穷,应该分别取极限。不能用奇函数性质。答案:0
5.向量代数、平面与直线等。
说明:此部分题目以平面与直线为多。单纯向量的运算的较少。
*(1)直线过,与平面:平行,又与直线:垂直,求直线的方程.(08-09)
提示:直线与平面的法线以及另一直线的方向向量均垂直。用外积。
答案:
*(2)已知直线
,,
a.求的方向向量;b,验证:与平行;c,求过,的平面方程。(05-06)
答案:的方向向量:{3,-2,1}
(3)求经过点A(-1,2,3),垂直于直线
且与平面平行的直线方程。
答案:
**(4)求直线与直线间的距离。
提示:这是平行线。(答案:)
(5)求过直线且与平面成角的平面方程。
提示:利用平面束。
答案:,
(6)求过点M(1,1,1)且与直线和都相交的直线方程。
答案:
二、判别
1.有关连续性、间断点、可导性等判别
**(1)讨论函数的连续性,如有间断点,说明其类型.
答案:x=0间断,第一类跳跃间断点。
*(2)设函数在上连续,求a。
答案:
**(3)设,求f(x)的间断点并说明其类型。
答案:x=1:第二类无穷,x=0:第一类跳跃
***(4)已知,其中有二阶连续导数,且g(0)=1.
1)、确定的值,使在点连续;
2)、求
(答案:1、;
2.
2.曲线的性状的判别
(1)求的单调区间,极值点;凹凸区间和拐点。(06-07)
答案:,
单调增单调减,x=1极大.
凸,凹。X=2为拐点。
(2)a)求的单调区间,凹凸区间和拐点。
b)已知直角三角形的斜边长为,当两条直角边长为何值时,其周长最大?(05-06)
答案:
单调区间:x<0,单调减,单调增
凹凸区间:为拐点,
:凸;;凹,:凸
(3)绘出函数的图形。
略
(4)求函数的凹凸区间与拐点。
答案:
拐点
:凸:凹:凸:凹
三、证明:
说明:证明题主要出现在第三章的微分中值定理以及定积分部分。
*1. (不等式)试证:当时,有成立.
提示:在利用增函数。
**2.(不等式)证明:
提示:令利用函数的凹性。
**3.(导数中值)设在上连续,且
证明:
1)存在使
2).存在使得 (05-06)
(提示:1)令
2)先对f(x)用中值定理得存在使得然后对用介值定理。)
**4. (中值,定积分)设函数与在闭区间上连续,证明:至少存在一点,使得:
. (08-09)
提示:令,然后在上用罗尔定理即可。
***5.(根的存在及个数)证明方程有且仅有三个实根.
提示:易知有两个实根x=0,1.在[2,又可以据介值定理找到一个实根。最后用反证法可以证明仅有三个实根。逐一用罗尔定理,可以证明如有四个根,那么其三阶导必有一个值为零……
**6.(定积分)f(x)为[a,b]上的单调增加的连续函数,求证:
提示:不等式等价于
即:
对令,则此式成为
对令,则此式成为
故(注意:T-a=b-T):
。。。
**7.(定积分)设在上连续,是偶函数,满足条件(为常数)
(1)证明:
(2)计算 (06-07)
提示:积分区间对半,换元。
(2)令
答案:原式==
*8. 设在上连续,在内可导,且,证明:存在,使 (00-01)
提示:利用积分中值定理在[2/3,1]找到一点的值为f(0)。
9. 设函数在上连续,单调不减且,试证:函数
在上连续,且单调不减。(其中)(02-03)
提示:要证明x=0右连续。同时:x>0时
据积分中值定理:
据f(x)单调不减立即可得:
四、应用题
应用题大部分在于定积分微元法的几何应用。有一部分是极值问题。
*1. 求由抛物线和所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。(05-06)
答案:面积:
体积:
**2.求由以及所围成的平面图形的面积,又当k为何值时该面积最小?(04-05)
答案:面积:
得k=时面积最小
*3. 求由曲线y=x3与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积.
答案:5/4
**4.一根弹簧按阿基米德螺线盘绕,共10圈,每圈间隔
答案:
**5. 在半径为r的半圆内,作一个内接梯形,其底为半圆的直径,其他三边为半圆的弦.问怎样作法梯形面积最大?
答:设高为h。面积S=
得
时面积最大。
**6. 从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁,此矩形的底等于b,高为h,若梁的强度与成正比,问梁的横断面尺寸如何,其强度最大?
答:设强度为Q。而
故,
b=时强度最大。
**7. 要制造一个无盖的圆柱形桶,体积为。问底半径和等于多少时,才能使表面积最小?(06-07)
答:
表面积:
令其为零,得
说明:后面标注的如(06-07)表示式取自06-07年度本校的试题。
打*号的表示难度,一个*表示较为简单的基本题,两个*表示难度中等,三个*表示较难。