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<<返回学习交流 [转载]高等代数课程特点
《高等代数》是数学有关专业的一门重要基础课，其中心内容线性代数也是理工类、财经类有关专业的基础课。《高等代数》课程的教学内容可以分为三部分:1、多项式理论:多项式理论以数域F上一元多项式的因式分解理论为心;2、线性代数:主要内容包括:行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、兰姆答矩阵、欧氏空间和双线性函数等;3、群、环、域简介。由于数学与应用数学专业教学计划中还安排有《近世代数》这门课，因此第三部分的内容通常不在《高等代数》中开设而留在后继课程中讲授。《高等代数》是中学代数与《近世代数》之间的一座桥梁，因此
高等代数课程内容究竟有哪些特点?教师如何根据它的特点开展教学，使学生能更容易掌握教学内容、同时学到比较系统的代数学研究问题的基本方法?综观《高等代数》课程，其课程特点可以用“三点一线”加以概括。何谓“三点”?即:1、逻辑推理的严密性;2、研究方法的公理性;3、代数系统的结构性;而“一线”就是:矩阵表示是一条主线，利用矩阵理论把前后知识串起来。代数是数学专业课程中属纯粹数学的分支，是研究脱离了具体背景的数量之间的关系。在高等代数中，对各类问题的研究.总是先给出确切的定义，然后从定义出发，利用严密的逻辑推理方法，依次推出性质、定理、推论等，从而建立各类问题的一套完整的理论体系，这是逻辑推理的严密性的一个具体体现。例如，对于多项式的因式分解，中学代数只介绍一些具体的分解方法，对一个多项式能不能分解，能分解到什么程度，分解式是否唯一等一系列问题没有办法进行讨论。而在高等代数中，通过引进不可约多项式的定义，阐述了不可再分的确切定义，这就建立了判别一个多项式能不能分解的判别准则，又通过多项式因式分解的唯一分解定理，解释了因式分解的唯一性和可分胜，最后分别对复数域、实数域、有理数域中不可约多项式的特征进行刻画，从而完满解决了多项式的因式分解问题。
高等代数在用严密的逻辑推理方法建立起代数系统的理论体系后，通过对多项式、矩阵、几何向量、线性方程组的解向量等不同的研究对象的加法和数乘都满足八条运算规律，用公理化方法给出线性空间的定义。在引进线性空间的公理化定义后，线性空间所研究的对象就不再是任一具体形式的数学对象，而是满足八条运算定律的集合和运算，由线性空间的定义推导线性空间的其它性质和定理时所能依据的就只有定义中的八条公理，而不能凭借任何具体的直观背景，所以公理化方法的引进不但使数学抽象思维产生质的飞跃，也使逻辑推理更加严密，问题的抽象化程度更高，这是研究方法的公理性的一个具体体现。线性空间是学生在高代中遇到的第一个公理化定义，因此在理解和掌握时就显得困难。而且高等代数中的线性变换、欧氏空间、双线性变换以及近世代数中的群、环、域等概念也是用公理化方法引进的，因此让学生顺利理解和掌握线性空间的公理化方法就显得十分重要。公理化方法是研究代数系统的前提，但是从公理出发研究集合和运算本身并不能反映满足相同公理的代数系统在结构上的差异和联系，从而无法了解代数学的总体状况。为了了解代数系统的结构，还必须研究系统中元素与元素之间的关系，系统的生成方法，系统与子系统的关系，系统的分类等问题，这时所用的方法是结构化方法。例如在线性空间中，我们借助加法和数乘这两种运算确定的向量线性相关性，研究向量之间的关系、向量组之间的关系、向量与向量组之间的关系，研究线性空间的生成，它的基和维数，线性子空间以及它们的交、和与直和，最后通过引入同构映射，刻画出线性空间相互同构的本质特征。利用结
用严密的逻辑推理方法来建立代数系统的理论体系，用公理化方法来统领不同的代数系统，用结构化方法研究代数系统的内部结构，这样建立起来的代数系统是很完善，应用也很广泛，但把握起来却觉得非常抽象，难以理解和掌握。因此，有必要根据需要，用直观的、统一的工具来刻画、研究各种代数系统。在高等代数中，应用最广泛的表示方法就是用拒阵来表示。例如，线性方程组可以用一个增广矩阵来表示;在线性空间中取定一个基后，一个线性变换可以用一个拒阵来表示;在欧氏空间，取定一个标准正交基后，内积可用其度量拒阵来表示，正交变换可用正交拒阵表示，对称变换可用对称矩阵表示，等等。通过矩阵表示，大部分线性代数的问题都可归结为矩阵问题来解决。矩阵是看得见摸得着的东西，而矩阵的理论又是人们比较熟悉的理论，这就为研究抽象的代数问题找到一个统一而简便的方法，也使人们更清楚地认识到抽象与具体的辩证统一。因此如何有效利用矩阵理论作为一条主线，把高等代数中各部分内容有机地串联起来，利用“一线”，化解“三点”，这对于学生理解和掌握抽象的代数知识、理论和技能是至关重要的一个环节。 忠杰
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