代数的历史与发展趋势
一、
概念与地位
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
“代数”的英文名algebra一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作《代数学》中的名称。清代传入中国，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。
1．代数学：在初等的意义下，代数学是指通过用字母（而不是用数字）来代表一般的数，以研究数的性质和运算的数学分支。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
2． 数学的分类（整个数学的本体与核心）：
1）代数学--研究数的部分
2）几何学--研究形的部分
3）分析学--沟通形与数且涉及极限运算的部分。
二、
历史阶段
1）算术阶段：距今约三千八百年至公元三世纪。
特点：运算符号不统一，代数从几何中分离。
古埃及和古巴比伦的早期文献中有代数方面问题的记载。
公元三世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人物是被誉为代数学鼻祖的丢番图。他在其著作《算术》一书中，讲了数的理论，包括符号运算法则，二次方程、特殊三次方程和不定方程的解法等，其中只求整数解的整系数方程被后人称为“丢番图方程”。丢番图对代数的主要贡献在于将代数从几何的羁绊中解脱出来（注：希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。），而成了一门完全单独的学科。
中国的《九章算术》（西汉末东汉初，公元2世纪，作者不详）：是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。在代数方面，主要有一次方程组解法、平方、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则．
2）数与方程理论的完备阶段：公元七世纪至十六世纪。
特点：无理数与虚数的发现，符号统一。
几个具有里程碑意义的发展：
（1）无理数的发现
毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现第一个无理数
，颠覆了本学派领袖的“一切数都可以表示成整数与整数的比”的观点。由此引发了第一次数学危机。
注：三次数学危机：第一次：无理数的发现；第二次：微积分的应用；第三次：罗素悖论与康托尔的集合论。
（2）运算符号的创立与无理方程的解法
在印度，从公元七世纪的数学家婆罗摩笈多创立表示量的概念和描述运算的一套符号，到12世纪婆什迦罗提出负平方根的概念、研究无理方程的解法和无理数的运算法则，把代数学的研究推向了新的阶段。
（3）虚数理论的建立
16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。
1806年德国数学家高斯对虚数用平面直角坐标系表示以后，虚数才渐渐被数学家肯定。
3）线性代数阶段：十七世纪-十九世纪
特点：解决线性问题，矩阵，行列式，向量的工具出现。为工业化社会服务。
由于费马和法国笛卡尔（引入迪卡尔坐标系，将代数与几何统一）的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
行列式的概念最早是由十七世纪德国的数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1750年克莱姆完善。第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙。
德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。他在此领域结论最丰富。
1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵（matrix）这个词。英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来。
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述。但并没有利用向量与矩阵的工具。19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
1888 年，意大利数学家皮亚诺（Peano）给出了向量空间的公理化定义。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．
4）抽象代数（近世代数）阶段：公元十九世纪至现在。
特点：从重视形式与技巧到重视代数结构。为信息化社会服务。
抽象代数学（也称近世代数学）则是在初等代数学的基础上，于二十世纪形成的、以研究各种代数结构为中心的一门学问。
创始人：伽罗瓦；米.诺特。
注：创始人介绍：
伽罗瓦（Galois, Evariste,1811-1832）：法国数学家。从小性格乖僻，不喜欢只注重形式与技巧的教师的讲课方式。善于思考，求知欲强。十五岁就读如拉格朗日和欧拉等许多名师的著作。十七岁创立“群”的思想。写了第一篇论文。由柯西审稿，可惜论文遗失。十八岁写第二篇论文，由傅立叶审稿，但没来得及审稿他就去世了。第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。这篇论文他，第一次提出了“置换群”的概念，进而创立了“群”的理论，使他成为“群论”的创始人。但因为审稿的泊松不理解而被否定。
伽罗瓦对数学的贡献在于：他不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”
他是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式。他的深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神。
他也是一个革命者，他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期。在法国历史上著名的1830年的“七月革命”中，刚考进法国巴黎师范大学的十九岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。曾两度入狱。
21岁，他为爱情死于决斗。决斗前，他将生平所研究的匆写给他的一位好友，请求他交给高斯。他死亡十四年后他的论文的价值才得到确认。
米.诺特（EmmyNoether,1882－1935）： 德国犹太女数学家。生于德国大学城——爱尔兰根。1893年冬天，她来到哥廷根大学，直接听到希尔伯特、克莱因、闵科夫斯基等著名数学家讲课。1904年德国大学改制，允许女生注册，当年10月她便正式回到爱尔兰根注册学习，博士导师戈丹。戈丹去世后，接替他的先是施密特，后是费歇尔。在费歇尔指导下，诺特逐步实现了从戈丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变。费歇尔对诺特的学术发展的影响较大。
1915年，哥廷根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥廷根。她因为性别歧视原因而只能以希尔伯特之名讲课。一次世界大战结束后，德意志共和国成立了，情况才发生变化。1919年诺特才当上了讲师，1922年至1933年，她取得“编外副教授”职位。
1920年以后，诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。她从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，然后用统一的方法加以处理，得出一般性的理论，用她的这种理论又能处理各个不同领域的特殊性的问题。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成于1926年。从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
诺特对抽象代数学发展所产生的巨大影响，并不完全出自她的论文，更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。她的讲课技巧并不高明，既匆忙又不连贯。但是，她常详细叙述自己尚末最终定型的新想法，其中充满了深刻的哲理，也充满了不同凡响的创造激情。她的学生其中有十几位学生后来成为著名数学家。
1933年因为希特勒迫害被勒令离开大学。后一度到苏联访问。1933年后移居美国，在美国布林马尔女子学院任教，并在普林斯顿高等研究院兼职。
1935年春因患癌症去世。终身未嫁。
研究对象：群，环，域，格，模，向量空间等代数结构。
特点：
1）从代数结构的高度研究广义的“数”之间的相互关系。从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式
2）通过研究代数结构，许多看起来很不相同的代数系统在结构上却是十分相似或相同的。这样，我们不但可以将许多问题更加统一进行研究，而且使学科的交叉渗透更加简易而且成为必然。
三、发展趋势
1．代数结构的大量出现和完善
至今已发现超过200种代数结构。如：李代数、实域、实代数理论
2．与数学其它多学科结合与统一：代数学的研究对象包括数、向量、矩阵等在内的各种代数系统，形成了群论、环论、伽罗瓦理论、线性代数等多个分支，并与其他数学分支结合，产生了代数几何、代数数论、代数拓扑等新的数学分支。
注：“旧三高”：微积分，高等代数，解析几何。“新三高”：抽象代数、拓扑学和泛函分析。新三高是现代数学理论的三根支柱。
3．广泛应用于非数学学科：如信息科学，密码学，理论物理、量子化学等。