第一章 多项式习题

提高题

一．填空、计算题

1.设是^注的次多项式，满足

（1）

（2）．

2. 设是整系数多项式,是奇数,判断在有理数域上是否可约。

3. 已知 a=2+3i是实系数多项式 f(x)=x³ + px² + 9x + q的一个根，求出 f(x) 的所有根以及p , q 的值。

4. 在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积。

5.设n此多项式的根是.求

(1) 为根的多项式，这里c是一个数。

（2）以,,…,(假定 都不等于零)为根的多项式.

二．证明题

1. （大连理工2005年考研） 设是数域P上的多项式,证明:在数域上,若,则.

2.（上海交大2003年考研）假设能被整除，证明：能被x-1整除。

3.（东南大学2004年考研）设为互不相同的整数，

（1）求证：g(x)在有理数域不可约。

（2）对于整数，是否可约，为什么？

4.（大连理工大学2007年考研）如果是实系数的多项式，如果

则.

5. 证明：不能有不为零的重数大于2的根．

6．（南京师范大学2007年考研）设 f(x),g(x)为数域P上的两个多项式，

，证明.

7.设,是数域,且,(x),(x)[x].

（1） 证明:如果在[x]中有(x)| (x),则在[x],也有(x)|(x)

（2） 证明: (x)与(x)在[x]中互素当且仅当(x) 与(x)在[x]中互素.

（3） 证明:设(x)是数域的不可约多项式,则(x)全是单根。

8．设是n个不同的数，而．证明：

(1） = 1；

(2）任意多项式用除所得的余式为.

9.利用艾森斯坦判断法,证明:若是t个不相同的素数而n是一个大于1的整数,那么是一个无理数.

注：这里“”均表示实数域。

编辑：忠杰

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2009．5．20