第一章 多项式习题
基本题
一、填空题
1.用
除
，商式为 ；余式为 。
2.当
满足关系 时，
.
3.
；存在
注＝
，
＝ ，使得
.
4.设
，则
的值为
。
5.当
满足
时，
有重根。
6.
有重根的条件是
。
7.
的有理根集合为
。
8. 当f(x)与g(x)
时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x).
9. 数域P的非零不可约多项式f(x)的因子为
与
。
10. 若
是多项式f(x)的3重因式,则是
的 重因式。
二．
判断题
1. 数集
关于数的四则运算是数域。
( )
2．数集
关于数的四则运算是数域。
（ ）
3. 若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x).
（ ）
4. 如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。
（ ）
5. 若p(x)是
的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式。
（ ）
6. 若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1.
( )
7. 奇次数的实系数多项式必有实根。
（ ）
8. 如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。
（ ）
9.如果在有理数域有f(x)
g(x)，则在实数域f(x)g(x).
（ ）
10．不可约多项式必为本原多项式。
（ ）
三．选择题
1. 以下数集按照数的四则运算构成数域的是
（ ）
（A）
是有理数，i2= -1
； （B） 
，i2= -1；
（C）
； （D）全体有理数。
2.关于多项式的整除，以下命题正确的是
（ ）
（A）若f(x)|g(x)h(x),且f(x)g(x)则f(x)|h(x)；
（B）若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)；
（C）若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x)；
（D）若f(x)g(x)，f(x)h(x)，则f(x)g(x)h(x).
3.关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是
（ ）
（A）若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1；
（B）若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式；
（C）若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式；
（D）若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1.
4.关于多项式的根，以下结论正确的是
（
）
（A）如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根；
（B）如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根；
（C）如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约；
（D）一个三次实系数多项式必有实根。
5.关于多项式的重因式，以下结论正确的是
（ ）
（A）若f(x)是的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式；
（B）若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，的公因式；
（C）若p(x)是的因式，则p(x)是f(x)的重因式；
（D）若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是
的单因式。
6. 关于多项式的分解，下列说法正确的是
（ ）
（A）任一多项式在数域P上都可以分解成一次因式的乘积；
（B）任一多项式在数域P上的因式分解在不计排列顺序和常数因子的情形下是唯一确定的；
（C）任一多项式在有理数域可以分解成一次或两次因式的乘积；
（D）任一多项式的分解式中必有一次因式。
7.设f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=
（ ）
（A）1； （B）-1； （C）±2； （D）0.
8.设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t为下列何值时，f(x)在有理数域上可约。
（ ）
（A）1；
（B）0；
（C）-1； （D）3或-5.
9.设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t为下列何值时，f(x)在有理数域上可约。
（ ）
（A）1；
（B）-1；
（C）0；
（D）5或-3.
10.关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是
（
）
（A）若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)；
（B）若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) (c≠0)；
（C）p(x)是任何数域上的不可约多项式；
（D）p(x)是有理数域上的不可约多项式。
一、
计算题
1.计算以下多项式的最大公因式：
（1） 
（2）
3. 求多项式
除
所得的商和余式。
4. 设
，求
[提示:应用综合除法]
5. 求一个次数小于4的多项式
,使
.
6. 实数满足什么条件时，多项式
能够整除多项式
7. 决定
，使
与
的最大公因式是一次的。
8. 
应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？
（1）
（2）
9.（1）求
在
[x]注内的标准分解式；
（2）求
在
[x]注内的标准分解式。
10.判断多项式
在有理数域上是否可约。
二、
证明题
1.设
，证明：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
.
2.设
不全为0，
，若
且
的次数都大于1.
（1） 问
是否唯一；
（2） 求证：
；
（3） 求证：
.
3．设是首一多项式，且次数大于1。证明下列命题等价：
（1）是某个多项式的方幂；
（2）对于任意多项式
，必有，或者存在某一个整数
，使得
；
（3）对于任意多项式
，由
可推出
，或者存在整数，使得
.
4．证明：
.
5．如果
，求证是常数或单位根。
6．如果
，求证
.
7.设
令
是任意正整数，证明：
由此进一步证明，对于任意正整数
，都有
8.令是两个多项式,并且
可以被
整除。证明:
9.设
[x]注中多项式
且
,是一个大于1的整数。证明:的根只能是零或单位根。（提示:如果
是的根,那么
都是的根）。
10.设是一个整系数多项式。证明:若
和
都是奇数,那么不能有整数根。
11．设是一个复系数多项式,用
表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式。证明:
若g
,那么
；
若
是和
的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式)。
12.设a1，a2，…，an，是数域P中互不相同的数，f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c是P上一个n-1次多项式，说明，如果f(ai)=0,i=1，2，…，n，则f(x)必为零多项式。
13.设a1，a2，…，an是数域P中互不相同的数，b1，b2，…，bn是数域P中任一组数，证明，存在P上的唯一的多项式
f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0,使得f(ai)=bi , i=1,2，…，n.
注：这里表示实数域，表示复数域，表示有理数域。、g、等均表示多项式。
编辑：忠杰
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2009．5．20