第五章 二次型习题

提高题

一．填空、计算题

1. 设、均为实数,二次型

、满足条件_________时,为正定二次型。

2.（厦门大学2008年考研）的正惯性指数是 ，负惯性指数是 。

3.（大连理工大学2007年考研）求二次型的秩与正负惯性指数之差。

4. 实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类。

5.（武汉大学2005年考研）已知二次型

问:当 a为何值时，此二次型是正定的，半正定的，以及不定的二次型。

二．证明题

1. （华中科大2005年考研）设为实矩阵,为阶单位阵,, 证明: 当时,为正定矩阵。

2.（中山大学2005年考研）证明：正定矩阵的最大元素必定在对角线上。

3.（华南理工大学2007年考研）设n阶矩阵A对于任意n维列向量X满足. （1）证明当A为对称矩阵时A=O； （2）如果A不是对称的，A未必是零矩阵。

4.（浙江理工大学2008年考研）证明 是半正定而非正定二次型.

5.（中国科技大学2008年考研）n阶实对称方阵A，B，A+B的正惯性指数分别为，证明：.

6．实二次型，且秩(A)＝n.　二次型，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数。

编辑：忠杰

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2009．5．20