第四章 矩阵习题

提高题

一．填空、计算题

1．（上海师大2005年考研）A为n阶对称矩阵，求满足，但得条件。

2. （大连理工2005年考研） 设、均为维列向量:,则可逆,__________.

3. （孝感人民大学2004年考研）设A，且A可逆，若，则

|A|= .

4.（浙江理工大学2008年考研）设, 其中为单位矩阵, 求

5.把矩阵表成形式为

(I)

的矩阵的乘积。

二.证明题

1. （华中科大2005年考研） 设是一些阶方阵组成的集合, 其中元素满足, 都有,且, 证明:

(1) 交换律在中成立.

(2) 当时,中矩阵的行列式的值只可能为,.

2.（南京大学2001年考研）设A是n阶矩阵,t是复数.证明:当复数的模|t|充分大时,tE+A是可逆矩阵。

3.(武汉大学2005年考研)设E是n阶单位矩阵。证明：

（1）若A,B都是n阶矩阵，，且E-A-B是可逆矩阵，则AB的秩=BA的秩；

（2）若，其中是n维列向量，则的充要条件是A的秩<n

（3）若A是n阶实矩阵，且,则A是可逆矩阵。

4. 设为阶幂零方阵，为阶可逆方阵，且与可交换，则都是可逆矩阵．

5.(中科院2007年考研)设A是实矩阵，，若A的每一个元素都和它的代数余子式相等，证明A是可逆矩阵。

６. 为一复数矩阵， ，证明：A可以表成形式为第一大题4小题中（I）的矩阵的乘积．

７. 设A,B是n阶方阵，且，证明：若，则不可逆。

８. （华中科大2005年考研）设是一些阶方阵组成的集合, 其中元素满足, 都有,且, 证明:

(1) 交换律在中成立.

(2) 当时,中矩阵的行列式的值只可能为,.

编辑：忠杰

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2009．5．20