第四章  矩阵习题

一、           填空题

1.设为3阶方阵，注为的伴随矩阵，有，则        .

2.设为4阶方阵，且，则　　　 ,       　.

3.设是一个矩阵，是一个矩阵，那么是一个      阶矩阵，它的第行第列元素为         .

4.三阶对角矩阵，则=        .

5.设，则        .

6.设，矩阵的逆矩阵为       。

7.设，则       .

8.既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则为       矩阵。

9.设方阵，，且，则行列式       。

10．设为阶方阵，为阶方阵，已知，则行列式   。

 

二．判断题

1.对于任意阶矩阵，，有.                        （  ）

2.如果则.                                             （  ）                         

3. 如果，那么A=O或B=O.                                    （  ）

4.如果，那么|A|=0或|B|=0.                                    （  ）

5.设都是阶非零矩阵，且，则的秩一个等于，一个小于.   （  ）

6．若AB=AC，且|A|≠0，则B=C.                                     （  ）

7．若AB=BA，则(AB)n=AnBn.                                          (  )

8．（A+E）（A-E）=（A-E）（A+E）.                                    （  ）

9．矩阵A、B可逆，则A+B可逆。                                         （  ）

10.若矩阵AB可逆，则A，B可逆。                                       （  ）

          

二、           选择题

1．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵。则下列矩阵中为反对称矩阵的是 （　 ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A) ；    (B) ；   (C)  ；    (D) 

2. 设是一个阶矩阵，那么是对称矩阵的是                              （   ）

(A) ；       (B) ；    (C) ；      (D).

3．以下结论不正确的是                                                  （   ）

(A)    如果是上三角矩阵，则也是上三角矩阵；

(B)     如果是对称矩阵，则也是对称矩阵；

(C)    如果是反对称矩阵，则也是反对称矩阵；

(D)    如果是对角阵，则也是对角阵。

4．是矩阵, 是矩阵, 若的第列元素全为零，则         （  ）

(A) 的第行元素全等于零；   (B) 的第列元素全等于零；

  (C)的第列元素全等于零；  (D) 的第列元素全等于零。

5．设为阶方阵，则以下命题中正确的是                               （  ）

 (A) ；  (B) ；

 (C) ；           (D) .

6. 是矩阵，是矩阵，则                                    （   ）

(A)    当时，必有行列式；

(B)    当时，必有行列式；

(C)    当时，必有行列式；

(D)   当时，必有行列式。

7．以下结论正确的是                                                    （   ）

(A)    如果矩阵的行列式,则；

(B)    如果矩阵、B满足，则或；

(C)    如果矩阵、B满足，则或；

(D)   如果矩阵、B满足，则或

8.设是阶矩阵，适合下列条件中那一条时， 是可逆矩阵。           （   ）

  （A）存在某自然数；

（B）存在某自然数；

（C）A主对角线上的元素全为零；

（D）A可逆。

 

9．阶方阵是可逆矩阵的充分必要条件是                              （   ）

（A）A的行向量组线性无关；  （B） A的列向量组线性无关；；

（C）；    （D） .

10．均是阶矩阵，下列命题正确的是                            （   ）

(A)   若是可逆矩阵，则从可推出；

(B)   若是可逆矩阵，则必有；

(C)   若，则从可推出；

(D)  若，则必有.

11．均阶方阵，若，则有                                （   ）

(A)    ；           （B）；

（C）；           （D）.

12．设是的伴随阵，则中位于第i行第j列的元素为           （   ）

(A)  ； (B) ；    (C) ； (D) .

13．设为方阵，分块对角阵,则                       (   )

（A） ；       （B）；

（C） ；  （D) .

14．设是两个矩阵，是阶方阵，那么                         （   ）

（A）；   （B）；

（C）；（D).

15．对任意一个阶矩阵，若某阶矩阵能满足，那么是一个    （   ）

（A）对称阵；  （B）对角阵；  （C）单位阵；  (D)的逆矩阵。

16．若矩阵可逆，则矩阵方程的解是                    （   ）

（A）不存在；   （B）； （C）；  （D）.

17. 设均为阶非零矩阵，满足，则必有                   （   ）

（A）；  （B）；

（C）；  （D）.

18．设是阶方阵，为常数，那么                                   （   ）

（A）  （B） （C) （D)

19．设，若，则               （   ）

（A）； （B）；（C）；  （D）.

20.为n维列向量，A为n阶方阵，则

（1）A（）=（；

（2）；  （3）（）A=（；

（4）.

 （A）（1）、（2）正确；    （B）（3）、（4）正确；

 （C）（2）、（3）正确；    （D）（1）、（4）正确。

 

四．计算题

1．设, 求

2．计算下列矩阵的乘积：

(1) ;    (2) ;

(3) .

3．举反例说明下列命题是错误的:

（1）若,则或;

（2）若,且,则.

4．设,求（）.

5．求下列矩阵的逆矩阵：

 (1) ; (2) ;　(3) .

6．解下列矩阵方程：

(1)　 ;

(2) ;

（3）设,.

7．利用逆矩阵解下列线性方程组:     

8．设,其中, ,求.

9．取,验证.

10．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．

五．证明题

1．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明：也是对称矩阵.

2．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.

3．设(为正整数),证明：.

4．设方阵满足,证明：及都可逆,并求及.

5．设A=，其中r(A1)=r1，r(A2)=r2，证明r(A)=r1+r2

6.设A，B为n阶矩阵，证明矩阵可逆的充分必要条件是矩阵A+B，A-B均可逆。

7.证明:秩为r的矩阵总可表为r个秩为1的矩阵之和。

8.设A为矩阵，证明存在非零的n×s矩阵B，使AB=O的充要条件是r(A)<n.

9. 设A为阶非奇异阵,是两个维列向量,证明：

(1) ;

(2) 可逆当且仅当.

10. 矩阵的秩为，证明：存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使

11. 设A是一个阶方阵，。证明：A可以表成这一类初等矩阵的乘积。 

12.是个维列向量，且是可逆的阶矩阵。证明：当线性相关时，也线性相关；当线性无关时，也线性无关。

13．设是阶方阵，若存在维列向量和正整数k，使得，证明：向量组线性无关。

14. 设A,B是两个n 阶方阵,证明:同解。

15．已知矩阵A，B，A+B均可逆，证明：可逆并求其逆。

16.设。证明：与有相同的线性相关性。

 

注：这里“E”均表示单位矩阵，“O”均表示零矩阵。“”如无特别说明，均表示A的伴随矩阵。

 

                                                    编辑：忠杰

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                                                                   2009．5．20