第四章 矩阵习题
一、
填空题
1.设为3阶方阵,
注为
的伴随矩阵,有
,则
.
2.设为4阶方阵,且
,则
,
.
3.设是一个
矩阵,
是一个
矩阵,那么
是一个 阶矩阵,它的第
行第
列元素为
.
4.三阶对角矩阵,则
= .
5.设,则
.
6.设,矩阵
的逆矩阵为 。
7.设,则
.
8.既是对称矩阵,又是反对称矩阵
,则
为 矩阵。
9.设方阵,
,且
,则行列式
。
10.设为
阶方阵,
为
阶方阵,已知
,则行列式
。
二.判断题
1.对于任意阶矩阵
,
,有
.
( )
2.如果则
.
( )
3. 如果,那么A=O或B=O. ( )
4.如果,那么|A|=0或|B|=0.
( )
5.设都是
阶非零矩阵,且
,则
的秩一个等于
,一个小于
. ( )
6.若AB=AC,且|A|≠0,则B=C.
( )
7.若AB=BA,则(AB)n=AnBn.
( )
8.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E).
( )
9.矩阵A、B可逆,则A+B可逆。
( )
10.若矩阵AB可逆,则A,B可逆。
( )
二、
选择题
1.设是
阶对称矩阵,
是
阶反对称矩阵。则下列矩阵中为反对称矩阵的是 ( )
(A) ; (B)
; (C)
; (D)
2. 设是一个
阶矩阵,那么是对称矩阵的是
( )
(A) ; (B)
; (C)
; (D)
.
3.以下结论不正确的是
( )
(A)
如果是上三角矩阵,则
也是上三角矩阵;
(B)
如果是对称矩阵,则
也是对称矩阵;
(C)
如果是反对称矩阵,则
也是反对称矩阵;
(D)
如果是对角阵,则
也是对角阵。
4.是
矩阵,
是
矩阵, 若
的第
列元素全为零,则
( )
(A) 的第
行元素全等于零;
(B)
的第
列元素全等于零;
(C)的第
列元素全等于零;
(D)
的第
列元素全等于零。
5.设为
阶方阵,则以下命题中正确的是
( )
(A) ; (B)
;
(C) ;
(D)
.
6. 是
矩阵,
是
矩阵,则
( )
(A)
当时,必有行列式
;
(B)
当时,必有行列式
;
(C)
当时,必有行列式
;
(D)
当时,必有行列式
。
7.以下结论正确的是
( )
(A)
如果矩阵的行列式
,则
;
(B)
如果矩阵、B满足
,则
或
;
(C)
如果矩阵、B满足
,则
或
;
(D)
如果矩阵、B满足
,则
或
8.设是
阶矩阵,
适合下列条件中那一条时,
是可逆矩阵。
(
)
(A)存在某自然数;
(B)存在某自然数;
(C)A主对角线上的元素全为零;
(D)A可逆。
9.阶方阵
是可逆矩阵的充分必要条件是
(
)
(A)A的行向量组线性无关; (B) A的列向量组线性无关;;
(C); (D)
.
10.均是
阶矩阵,下列命题正确的是
(
)
(A)
若是可逆矩阵,则从
可推出
;
(B)
若是可逆矩阵,则必有
;
(C)
若,则从
可推出
;
(D)
若,则必有
.
11.均
阶方阵,若
,则有
(
)
(A)
;
(B)
;
(C);
(D)
.
12.设是
的伴随阵,则
中位于第i行第j列的元素为
(
)
(A) ; (B)
; (C)
; (D)
.
13.设为方阵,分块对角阵
,则
( )
(A) ; (B)
;
(C) ; (D)
.
14.设是两个
矩阵,
是
阶方阵,那么
(
)
(A); (B)
;
(C);(D)
.
15.对任意一个阶矩阵
,若某
阶矩阵
能满足
,那么
是一个 ( )
(A)对称阵; (B)对角阵; (C)单位阵; (D)的逆矩阵。
16.若矩阵可逆,则矩阵方程
的解是
( )
(A)不存在;
(B); (C)
; (D)
.
17. 设均为
阶非零矩阵,满足
,则
必有
(
)
(A); (B)
;
(C); (D)
.
18.设是
阶方阵,
为常数,那么
(
)
(A) (B)
(C)
(D)
19.设,若
,则
( )
(A); (B)
;(C)
; (D)
.
20.为n维列向量,A为n阶方阵,则
(1)A()=(
;
(2); (3)(
)A=(
;
(4).
(A)(1)、(2)正确; (B)(3)、(4)正确;
(C)(2)、(3)正确; (D)(1)、(4)正确。
四.计算题
1.设,
求
2.计算下列矩阵的乘积:
(1) ; (2)
;
(3) .
3.举反例说明下列命题是错误的:
(1)若,则
或
;
(2)若,且
,则
.
4.设,求
(
).
5.求下列矩阵的逆矩阵:
(1) ;
(2)
; (3)
.
6.解下列矩阵方程:
(1) ;
(2) ;
(3)设,
.
7.利用逆矩阵解下列线性方程组:
8.设,其中
,
,求
.
9.取,验证
.
10.设阶矩阵
及
阶矩阵
都可逆,求
.
五.证明题
1.设为
阶矩阵,且
为对称矩阵,证明:
也是对称矩阵.
2.设都是
阶对称矩阵,证明
是对称矩阵的充分必要条件是
.
3.设(
为正整数),证明:
.
4.设方阵满足
,证明:
及
都可逆,并求
及
.
5.设A=,其中r(A1)=r1,r(A2)=r2,证明r(A)=r1+r2
6.设A,B为n阶矩阵,证明矩阵可逆的充分必要条件是矩阵A+B,A-B均可逆。
7.证明:秩为r的矩阵总可表为r个秩为1的矩阵之和。
8.设A为矩阵,证明存在非零的n×s矩阵B,使AB=O的充要条件是r(A)<n.
9. 设A为阶非奇异阵,
是两个
维列向量,证明:
(1) ;
(2) 可逆当且仅当
.
10. 矩阵
的秩为
,证明:存在
列满秩矩阵
和
行满秩矩阵
,使
11. 设A是一个阶方阵,
。证明:A可以表成
这一类初等矩阵的乘积。
12.是
个
维列向量,且
是可逆的
阶矩阵。证明:当
线性相关时,
也线性相关;当
线性无关时,
也线性无关。
13.设是
阶方阵,若存在
维列向量
和正整数k,使得
,证明:向量组
线性无关。
14. 设A,B是两个n 阶方阵,证明:同解。
15.已知矩阵A,B,A+B均可逆,证明:可逆并求其逆。
16.设。证明:
与
有相同的线性相关性。
注:这里“E”均表示单位矩阵,“O”均表示零矩阵。“”如无特别说明,均表示A的伴随矩阵。
编辑:忠杰
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2009.5.20