第七章 线性变换习题

基本题

一、填空题

1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足在基下的坐标为_________.

2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：　,则＝_______，维＝______，维＝_____.

3．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为________变换。

4．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为________.

5．若与相似，则=         ．

6．：，；：，，则         ，          ，           ．

7．设三阶方阵A的特征多项式为，则      ．

8．设是向量空间V的一个基，线性变换s在此基下对应的矩阵为，则s在基下对应的矩阵为      .

9.设实二次型，，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为.则      ,       .

10. 设F n={(x1, x 2,…, x n)| x iÎF}是数域F上的n维空间，定义线性变换：

( x1, x 2,…, x n)=(0, x 1,…, x n)；

则 的维数是              。

11．设实二次型，，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.则      ,       .

12．满足，则有特征值___________。

 

二、判断题

1．设是维向量空间的两个线性变换，分别是关于的基的矩阵，则当时，必有：.                         （   ）

2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　                                                     （　 ）

3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换。　　　（　 ）

4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝.　　（　 ）

5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间。                                               （ 　）

6．阶方阵A至少有一个特征值为零的充分必要条件是．              （   ）

7．已知，其中为阶可逆矩阵，为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关。                                                                （   ）

8．数域P上的n维线性空间V的线性变换的全体构成的线性空间是n2维的    （   ）

9．若，且为A-子空间，则也为A-子空间。                    （   ）

10．若上的线性空间V上的线性变换A的特征多项式可以在上完全分解，则它一定存在一组基，在此基下的矩阵为若尔当标准型。                               （   ）

 

三．选择题

1． 若A,B 均为n阶方阵，A,B有相同的特征值且均非零，则：                      （   ）

(A)A,B相似；（B）A,B合同；  （C）A,B等价；  （D）A,B有相同的若尔当标准型。

2．若矩阵P与Q相似，下列说法错误的是：                                  （   ）

（A）P与Q有相同的特征值；

（B）P与Q有相同的对角形；

（C）P 与Q可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵；

（D）P与 Q对应的行列式的值相同。

3．设W是n维线性空间V的一个A-子空间，，下面说法不正确的是                                                                    （   ）

（A）W可能是真子空间；  B) T也是A-子空间；

(C) A限制在 W 上也是线性变换；   (D) A的秩为n，那么T也是A-子空间。

4． 设矩阵A=与 D=相似，则x=                       （   ）

（A）1；      (B) -1；        (C)2；         (D)不能确定。

5．设是维线性空间的线性变换，那么下列说法错误的是                 （   ）

（A）是单射={0}；     (B)是满射的秩=；

(C)是可逆的=；  （D）是双射是单位变换。

6．Q为n阶方阵，其秩为r.A为一个上的线性变换（）.A的核的维数为                                                                    （   ）

（A）r维；  (B)  n维；   (C) n-r维；  (D)0维。

7.设A是n阶对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值l的特征向量，则矩阵(P-1AP)属于特征值l的特征向量是                             (    )

(A)P-1a；            (B)Pa；              (C)Pa；            (D)(P-1)a.

8．设s，t 是V的线性变换，i 是恒等变换，则下列结论中不一定正确的是         (   )

（A）(s+i) 是 s-i 的不变子空间；         (B)(s+t) 是 s+t 的不变子空间；

(C)t 是 s 的不变子空间；               （D）(t-i)V 是 t+i 的不变子空间.

9．令是的任意向量，则是的线性变换的映射是              （   ）

（A）；         (B)；

(C)；           （D）.

10.关于线性空间V上的线性变换A的值域与核，下列说法正确的是              （   ）

（A）AV的基与A -1（0）的基合并可成为V的基；

(B)  AV的基的原象为V的基；

(C)  AV中线性无关的向量组的原象仍线性无关；

（D）AV中线性相关的向量组的原象仍线性相关。

 

四、计算题

1．判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形。

2．在线性空间中定义变换：

（1）证明：是的线性变换. （2）求与

3．设是的线性变换,

（1）求的一个基和维数；  （2）求的一个基和维数．

4．设与相似。

（1）求的值；    （2）求可逆矩阵P，使.

5． 设F3[x] 表示一切次数不大于3的数域F上的多项式连同零多项式所成的向量空间，D是微分变换。（1）求D的所有特征根；（2）求F3[x]一组基，使得微分变换D在此基下的矩阵为 B= .03gd2m）

6．设四维线性空间上的线性变换A在一组基下的矩阵为 .

（1）求出A的维数，并求出A的一组基；（2）求出A的维数，并求出A的一组基。

7.中线性变换，求在基下的矩阵。

8．设是3维线性空间V的一组基, 线性变换A在这组基下的矩阵为

              

（1）求A在基 下的矩阵；

（2）求A的特征值与特征向量。（06年补考）

9．设已知线性空间V=(数域P上的二阶方阵全体.加法定义为矩阵的加法;数乘为矩阵的数乘)

                  

判断:(1)V1是否为V的子空间?其基与维数?

(2)若在V中定义变换:

             

           

A是否为V的线性变换?

(3)V1是否为-子空间,说明理由。（2007年试卷a）

10．在中定义线性变换：

1）

2）

分别求,在基下的矩阵。

11．设A=，求 A100

12．设

(1)若把看成有理数域上的矩阵，判断是否可对角化，写出理由；

(2)若把看成复数域上的矩阵，判断是否可对角化，写出理由。

 

五．证明题

1．若是一个阶矩阵，且，则的特征值只能是0和1.

2．若A为线性空间V的线性变换，则(1)A 为幂零的线性变换当且仅当A 的特征多项式的根全为零。 (2)A 可对角化，则.

3. 若数域P上的n维向量空间V的线性变换A满足,则称之为对合变换， 证明

(1) A的特征值为

 (2）（为属于1的特征子空间，为属于-1的子空间）

4．设V是数域P上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（1）是满射； (2)= {0};  (3) 非奇异。  

5．令V是复数域上的一个n维向量空间，，是V的线性变换，且．

(1)证明，的每一特征子空间都在之下不变；(2) 与在V中有一公共特征向量．

6．设A，B是复数域上n阶矩阵。证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同。

7．设是向量空间V上的线性变换，证明：不可逆的充分必要条件是以零作为一个特征值。

8．规定：

                

其中A为一个固定的矩阵。证明：(1)A为的线性变换，找一组基，使得在此基下的矩阵为A.(2)若A可逆，则A可以作为上的自同构。

 

 

                                                    编辑：忠杰

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                                                                   2009．5．20