第六章 线性空间习题

基本题

一、填空题

1．已知是注的一个子空间，则维（）＝　　， 的一组基是___________.

2．在中，若线性无关，则的取值范围是____________.

3．已知是数域P中的一个固定的数，而

是的一个子空间，则＝________，而维()＝_________.

4．设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝__________，而在基下的坐标是__________.

  5．n的子空间V={(x1, x 2,…, x n) | x 1+ x 2+…+ x n=0}的维数是          。

  6．V={(a+bi, c+di) | a,b,c,dÎ}}按照通常的加法分别于实数域与复数域上的数乘均为线性空间，它在复数域上是        维的，在实数域上是        维的。

7．5维线性空间，维=3，维=3，则=          。

 

二、判断题

1．设线性空间，则是的子空间.       （  ）

2．设，是的解空间，是的解空间，是的解空间，则.                                    （  ）

3．设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝.                                                  （  ）

4．设是线性空间的子空间，如果但则必有                                                             （  ）

   5．n维线性空间均与同构。                                         （  ）

   6．线性空间的真子空间必不可能与原空间同构。

7．若线性空间的三个子空间满足，则和   是直和。                                                     （  ）

8．平面必为线性空间的子空间。                                     （  ）            

9．线性方程组的所有解关于向量的加法与数乘构成线性空间。              （  ）

10．两个线性空间的并必非线性空间。                                   （  ）

 

三．选择题

1．线性空间的定义中：(k+l)a = ka+la,关于等式两边的“+”号正确的是          （   ）                                                                                                                           

(A)左右两边都是数的加法；    (B)左右两边都是向量的加法；

(C)左边是数的加法，右边是向量的加法；   (D)左边是向量的加法，右边是数的加法。

 

2．线性空间V的非空子集W构成子空间的充要条件是                         （   ）

（A）W是V的子集；         （B）W关于V中的加法与数乘封闭；

 (C) W关于W中的加法与数乘封闭；    (D) 以上说法都不对。

3．设，则下列结论不成立的是                                                                （   ）

（A）；      （B）是直和；

（C）；        （D）是直和。

4．以下不是两个子空间W1与W2的和为直和的等价命题的是                    （   ）

（A）维()>维，且维()> 维 ；     （B） ={0} ；     

（C）维()= 维+维；

（D）若是的一个基，是的一个基，则,为的基。

5．下列不是的子空间的是                                             （   ）

（A）；     （B）；

（C）；（D）.

6．下列不是判断线性空间的必选项的是                                     （   ）

（A）加法有交换律；     （B）任一向量都有长度；

（C）必有零向量；      （D）任一向量都有负向量。

7．关于线性空间的同构与同构映射，下面说法正确的是                         （   ）

（A）只要确定基的象，就可以对应一个同构映射；   （B）真子空间必不与原空间同构；

（C）同构映射是唯一确定的；               （D）若V=W，则同构映射必为恒等映射。

8.若线性空间V的两个子空间   则           （   ）

 （A） ；      （B）；

（C）；  （D）.

9．下面四个集合

；

；

；

。

中（n固定，运算为多项式的加法与数乘），构成线性空间的有                  (   )

（A）；  （B）  ；  （C） ；    （D）.

10．非齐次线性方程组的通解为，这说明 （   ）

（A）此方程组的所有解构成一个r维线性空间；

（B）此方程组的所有解构成一个r+1维线性空间；

（C）此方程组的导出组的所有解构成一个r维线性空间；

（D）此方程组的导出组的所有解构成一个r+1维线性空间。

 

四、计算题

1.在线性空间中，

(1)求的维数与一组基。

(2)求的维数与一组基。

2．在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标，其中

3．已知是的一个基，求在该基下的坐标。判断下列向量组是不是它的基：{x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x­+2}.

4．在[a,b]上所有实函数的全体构成的线性空间中，求的一组基，并求在此基下的坐标。

5． 判断下列两个的子空间是否相同：

   (1)

6．判断下列两个的子空间的和是否为直和：

   

7．在4中将线性无关组（1,0,0,0）,(0,1,0,0)扩充为一组基，要求（1，2，3，4），在此基下的坐标为（1，2，1，2）.

8．设是数域P上的维列向量空间，记

验证1,2都是的子空间，并求1＋2和.

9．设V是实函数空间，分别求

的基与维数。

 

五．证明题

1.为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

证明：1、2皆为的子空间，且

2.设是Pn的一个非零子空间，若对于的每一个向量来说，或者，或者每一个都不等于零，证明：维()＝1.

3．设P为数域,为复数,

证明:对于多项式的加法及数与多项式的乘法,均作成P上向量空间,且同构.

4．设集合V={(a,b)|a,bP}，现在定义加法为通常的加法，而数量乘积定义为

k(a,b)=(a,kb)

证明：V关于加法和数量乘积，不是P上的线性空间．

5．规定：

            

其中A为一个固定的矩阵。证明：

1）若A可逆，则A为的自同构。 2）若A奇异，则A（）为的子空间。

6．A为可逆阵,.为的解空间，为 的解空间。

则.

7.证明：两个向量组生成的子空间相等当且仅当它们等价。

8．设A，B分别是阵，令证明：W是的子空间，并求W的维数。

   9．设A是数域P上的n级矩阵，令

                   

                   

证明：当且仅当.

 

注：这里的“”均指实数域。

                                                    

 

编辑：忠杰

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                                                                   2009．5．20