第九章 欧氏空间习题
基本题
一、填空题
1．设
是一个欧氏空间， 
，若对任意
，都有
，则
＝_________．
2．在
维欧氏空间中，向量在标准正交基
下的坐标是
，那么
＝_________，
＝_________．
3．若
是一个正交矩阵，则方程组
的解为
.
4.已知三维欧式空间中有一组基
，其度量矩阵为
，则向量
的长度为 .
5.设
注中的内积为
则在此内积之下的度量矩阵为
.
6．设
，若
与
正交，则
．
7．若欧氏空间V在某组基下的度量矩阵为
,某向量在此组基下的坐标为
,则它的长度为 ,在此基下,向量与向量
的夹角为 .
8．在欧氏空间中，若
线性相关，且
，则
.
9．
是度量阵，则
必须满足条件______________.
10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 .
二、判断题
1．在实线性空间
中，对向量
，定义
，那么构成欧氏空间。
( )
2．在实线性空间
中，对于向量
，定义
，则构成欧氏空间。
( )
3．
是欧氏空间的一组基，对于中任意向量，均有
（
分别是在此基下的坐标），则此基必为标准正交基。
( )
4．欧氏空间
中的线性变换可以将椭圆映射成圆。
（ ）
5．V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。
（ ）
6．设是一个欧氏空间，
，并且
，则
与
正交。 ( )
7．设是一个欧氏空间，,并且
，则线性无关。
( )
8．若
都是欧氏空间的对称变换，则
也是对称变换。
( )
9．欧氏空间中，
为对称变换。
（ ）
10．
是欧氏空间的线性变换，中向量的夹角为
，而
的夹角为
，则不是的正交变换。
（ ）
三．选择题
1．关于欧几里得空间，下列说法正确的是 （ ）
(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；
(B)欧几里得空间未必是线性空间；
(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间；
(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。
2． 设
,
是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是
（ ）
（A）
.
(C)
（D）
3． 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是
（ ）
（A）一定有个不同的特征根；（B）存在正交矩阵
，使
成对角形；
（C）它的特征根一定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
4．设是维欧氏空间的对称变换，则
（ ）
（A）只有一组个两两正交的特征向量； （B）的特征向量彼此正交；
（C）有个两两正交的特征向量；
（D）有个两两正交的特征向量
有个不同的特征根。
5．
，定义：
，则满足下列何中情况可使作成欧氏空间
（ ）
（A）
；
（B）
是全不为零的实数；
（C）都是大于零的实数； （D）全是不小于零的实数
6．
，
为三阶实方阵，定义
，下列可使定义作为的内积的矩阵是
( )
（A）
；
（B）
；
（C）
；
（D）
.
7．若欧氏空间的线性变换关于的一个标准正交基的矩阵为
，则下列正确的是
（ ）
（A）是对称变换； （B）是对称变换且是正交变换；
（C）不是对称变换； （D）是正交变换。
8．若是维欧氏空间的一个对称变换，则下列成立的选项是
（ ）
（A）关于的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵；
（B）关于的任意基的矩阵都是对称矩阵；
（C）关于的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵；
（D）关于的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。
9．若是维欧氏空间的对称变换，则有
（ ）
（A）一定有个两两不等的特征根； （B）一定有个特征根（重根按重数算）；
（C）的特征根的个数
； （D）无特征根。
10．
，如下定义的实数
中可做成内积的是
（ ）
（A）
；
（B）
；
（C）
； （D）
.
四、计算题
1．把向量组
，
扩充成中的一组正交基。
2．已知
.求正交矩阵
，使
成对角形。
3．已知二次型
，问
（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取
，用正交线性替换化二次型f为标准形。
4．已知二次型f(x1,x2,x3) =2x12+ax22+3x32+2bx1x2 +4x2x3 ，通过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求a,
b及所用的正交变换的矩阵。(04xd2b)
5．设A为三阶实对称矩阵，其特征值l1= -1, l2=l3=1，已知属于l1的特征向量a1=(0,1,1)
，
求 A.(计算04xd2b)
6．在[0,2π]上所有连续函数的全体构成的欧氏空间中，判断：对任意正整数n，集合
{cos(jx),sin(jx)|j=1,2,...,n}
是否正交向量组。
7．欧氏空间中，定义内积
，求其在基（1，0），（0，1）下的度量阵。并求一组基，使得在此基下的矩阵为对角阵，且在此基下所有向量的长度不变。说明为什么对角阵不是单位矩阵。
8．将二次曲面
通过正交变换和平移变成标准形式。
9．设欧氏空间的线性变换为
问：是否为的对称变换？若是，求出的一个标准正交基，使在这个基下的矩阵为对角形矩阵。
10．在中，镜面所在的平面方程为x+y+z=0，一个球面的方程为
用正交变换的方法求它在镜面上的像的方程。
五、证明题
1．设，为同级的正交矩阵，且
，证明：
．
2．设是欧氏空间的线性变换，且
证明：是的对称变换。
3．证明：维欧氏空间与
同构的充要条件是，存在双射
，并且
有
．
4．设
与
为欧氏空间V的两组向量。证明:如果
,
则子空间
同构。
5．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量
,以下等式成立:
(1)
；(2)
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
6.设
为欧氏空间V的两个对称变换。证明:
也是V的对称变换。
7．证明：实系数线性方程组
有解的充分且必要条件是向量
与齐次线性方程组
的解空间正交。
8．设为实对称矩阵，证明：当实数t充分大后，
是正定矩阵。
9．设s是n维欧氏空间V的一个可逆线性变换，证明：如果V的一个子空间W在s之下不变，那么W的正交补W^在也在s之下不变。
10．设a1,a2,…,am，b1,b2,…,bm是n维欧氏空间V的两组向量，证明：存在正交变换s，使得s(ai)=bi，(i=1,2,…,m)成立的充分必要条件是<ai,aj>=<bi,bj>，i,j=1,2,…,m.
注：这里“
”均表示实数域。
编辑：忠杰
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2009．5．20