一、填空题(共24分)
1.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 正交 。
2.若是线性空间的一个基,则满足条件
(1)是 线性无关 ;
(2)对中任意向量,有
能被线性表示 .
3.设是向量空间的一个基,由该基到 的过渡矩阵为___________________。
4. 设为线性变换,为欧氏空间,若都有,则
为 正交
变换。
5. 设矩阵是阶零矩阵,则的个特征值是 0 。
6.设矩阵A的不变因子为,则其初等因子为 。
7.多项式在实数域上的标准分解为 。
二、(10分)设是R的一个基,而是另一组基,求由到的过渡矩阵,并求向量在下的坐标。
解:因为
,
, (4分)
所以
(8分)
据已知, 在 下的坐标为(5,-4,9,-2)(10分)
三.(10分)求多项式的所有有理根。
解:根据整系数有理根的判别法,多项式的有理根必满足S|4,r|1,(3分)因此,所有可能的根为,(6分)代入验算得=0。(9分)
因此有理根为(10分)
四.(20分)判断
(1)中的子集是否为的子空间。
(2)中的子集是否为的子空间。
解:(1)任意取子集中的两个元素,即有
故
因为 ,所以子集关于加法封闭。
又对任意,,而。所以子集关于数乘封闭。它是子空间。
(2)取子集中的两个元素f(x),g(x),即
f(x)+g(x)的次数有可能小于4,如
因为,因此它关于加法不封闭。它不是线性空间。
五、(10分)求矩阵的若尔当标准形.
解:
(2分)
因为,且中有一个n-1级子式为
(6分)
由上可见A的行列式因子为
1,1,…,1, (8分)
所以它的初等因子为1,…,1,(10分)
所求若尔当标准形:
(12分)
六.(8分) 设A是任意实对称矩阵,证明:存在实数t,使得tE+A是正定矩阵。(E是单位矩阵)
[证明]:因为A是n阶实对称矩阵,所以A的特征值l1,…,ln全部为实数。(2分)于是tI+A 的特征值为t+l1,…,t+ln 。(4分)取 t= max{|l1|, |l2|,…,|ln|}+1,则tI+A 的特征值t+l1,…,t+ln全大于0,(6分)于是tE+A是正定矩阵。(8分)
七(8分)证明:一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。
证明:设线性变换A为线性空间V中的正交变换,则对应某标准正交基下的阵为正交阵A。(2分)根据线性变换与矩阵的对应关系,A-1 对应A-1
. (4分)
因为正交阵的逆阵仍为正交阵,所以A-1为正交阵。(6分)因此对应A-1为正交变换。(8分)
八.(8分)证明: 设是三维欧氏空间的一个标准正交基,试证:
也是的一个标准正交基。
证明:
,
所以为V的一组标准正交基.(8分)
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