高等代数2试卷4B答案         返回  

              

一、填空题(共24分)

 

1.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此     正交      

2是线性空间的一个基,则满足条件

1   线性无关    

2)对中任意向量,有     能被线性表示       .

3.设是向量空间的一个基,由该基到 的过渡矩阵为___________________

4. 为线性变换,为欧氏空间,若都有,则

   正交  变换。

5. 设矩阵阶零矩阵,则个特征值是     0    

6.设矩阵A的不变因子为,则其初等因子为      

7.多项式在实数域上的标准分解为      

 

二、(10分)设R的一个基,而是另一组基,求由的过渡矩阵,并求向量下的坐标。

解:因为

4分)

所以

8分)

据已知,   下的坐标为5-49-2)(10分)

 

 

 

 

 

 

三.(10分)求多项式的所有有理根。

解:根据整系数有理根的判别法,多项式的有理根必满足S|4,r|1,3分)因此,所有可能的根为,6分)代入验算得=0。(9分)

    因此有理根为(10分)

 

 

 

 

 

四.(20分)判断

1中的子集是否为的子空间。

2中的子集是否为的子空间。

解:(1)任意取子集中的两个元素即有

   

因为     所以子集关于加法封闭。

又对任意,所以子集关于数乘封闭。它是子空间。

2)取子集中的两个元素f(x),g(x),

f(x)+g(x)的次数有可能小于4,如

因为因此它关于加法不封闭。它不是线性空间。

 

五、(10分)求矩阵的若尔当标准形.

解:

2分)

因为中有一个n-1级子式为

  6分)

由上可见A的行列式因子为

111,  8分)

所以它的初等因子为1,…,1,10分)

所求若尔当标准形:

12分)

 

 

.(8) A是任意实对称矩阵,证明:存在实数t,使得tE+A是正定矩阵。(E是单位矩阵)

[证明]:因为An阶实对称矩阵,所以A的特征值l1,…,ln全部为实数。(2分)于是tI+A 的特征值为t+l1,…,t+ln 。(4分)取 t= max{|l1|, |l2|,…,|ln|}+1,则tI+A 的特征值t+l1,…,t+ln全大于0,(6分)于是tE+A是正定矩阵。(8分)

 

 

(8)证明:一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。

 

证明:设线性变换A为线性空间V中的正交变换,则对应某标准正交基下的阵为正交阵A(2)根据线性变换与矩阵的对应关系,A-1 对应A-1 . 4分)

    因为正交阵的逆阵仍为正交阵,所以A-1为正交阵。(6分)因此对应A-1为正交变换。(8分)

 

 

八.(8分)证明: 设是三维欧氏空间的一个标准正交基,试证:

也是的一个标准正交基。

证明:

  

  

所以V的一组标准正交基.(8)

                                                           

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