高等代数2试卷
一(30分)选择题
1.设,则下列结论
不成立的是 ( )
A. B. 是直和
C. D.是直和
2.
设矩阵A=与 D=相似,则x=
( )
A.1
B.
3.下列不是判断线性空间的必选项的是
( )
A.加法有交换律 B. 任一向量都有长度
C. 必有零向量 D. 任一向量都有负向量
4. 与均为线性空间的子空间,则下列条件中不能断定为直和的是 ( )
A. B. 的维数=的维数+的维数
C. D.零向量在中的表示法唯一
5.关于若尔当标准形,下列说法正确的是 ( )
A. 若线性变换只有一个特征值,则它对应只有一个若尔当块
B. 全为一级若尔当块的若尔当标准形只有一个特征值
C.若为特征多项式的2重根,则对应有2个若尔当块
D.对角形是若尔当标准形的一种
6.若在复数域中,,且的首项系数均为1,则的标准形为 ( )
A. B.
C. D.
7.设都是三维向量空间的基,且,则矩阵是由基到下面何组基的过渡矩阵
( )
. B. C.
D.
8.是阶实方阵,则是正交矩阵的充要条件是
( )
.; B.; C. ; D.
9. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的
( )
.充要条件;B.充分而非必要条件;C.必要而非充分条件;D.既非充分也非必要条件
10.已知下列变换是R上的线性变换,其中是正交变换的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二.(12分)设3维线性空间的基为
求:1)对此基正交化成为基 ;2)到的过渡矩阵。
三.(14分)已知A(求导函数)为线性空间R(实数域上次数小于n的多项式的全体)上的线性变换,求:1)它在基下的矩阵。2)求上述矩阵的若尔当标准形。
四.(10分)设
,求及的基。
五.(10分)设是的子空间,求.
六.(8分)设l1, l2是线性变换A的两个不同特征值,e1, e2是分别属于l1, l2的特征向量;证明:e1+e2不是A的特征向量。
七.(8分)证明:设是向量空间V的两个子空间,那么它们的和也是的一个子空间。
八.(8分)设A为m阶实对称矩阵,特征值为,B为m阶正交矩阵,证明:为实对称阵且正定。
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