一.填空 (30分,每空3分)
1．Rn的子空间V={(x1,x2,…,xn) | x1+x2+…+xn=0}的维数是 。
2．A是数域P上一个n´n矩阵，f(l)=|lE-A|是A的特征多项式，则f(A)= .
3．设 s 是n维线性空间V的线性变换，则 s 的秩+ s 的零度 = .
4．已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值为0，2，4，5，其中 E为四阶单位矩阵，则|B-E| = .
5．数域W上的所有n阶对称矩阵构成的向量空间的维数为 。
6． 设
是向量空间V的一个基，线性变换s在此基下对应的矩阵为
，则s在基
下对应的矩阵为 。
7．如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于
。
8．数域F上任意一个n维向量空间都与 同构。
9．设V为线性空间,
A为V上的线性变换。则它的子集W成为V的A-子空间必须满足的两个条件是
和 。
二.(14分)在线性空间
(P为数域)中,有两组基
与
.
到的过渡矩阵为
,求基在基
的坐标。并求
在基下的坐标。
三．（12分）设矩阵A=的特征多项式有一个二重根，求a的值，并讨论A能否对角化。
四．(10分) 设 a1=(1,0,2,1), a2=(1,1,0,0), b1=(1,0,1,0), b2=(0,0,0,2).
求：(1) L(a1,a2)与L(b1,b2)的维数;
(2) L(a1,a2) + L(b1,b2)的维数;
(3) L(a1,a2)ÇL(b1,b2) 的维数.
五．（12分）在欧氏空间R3里找出单位向量h，使它们同时与向量a1=(2,2,-4), a2=(1,1,2)正交。
六．（12分）设e1,e2,e3,e4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换 s 在这组基下的矩阵为
A = 求 s 的核与值域。
七．(12分)证明题
1．证明：如果n维线性空间V中两个子空间V1，V2的维数之和大于n，那么V1，V2含有非零的公共向量。
2．设
是线性空间V的一个线性变换，且
（k>0），求证
线性无关。