高等代数2试卷3B答案               返回

 

.填空 (30,每空3)

1Rn的子空间V={(x1,x2,…,xn) | x1+x2+…+xn=0}的维数是   n-1   

2.A是数域P上一个n´n矩阵,f(l)=|lE-A|A的特征多项式,则f(A)=    O   .

3.设 s n维线性空间V的线性变换,则 s 的秩+ s 的零度 =      n      .

4.已知四阶矩阵A相似于BA的特征值为0245,其中 E为四阶单位矩阵,则|B-E| =    -12    .

5.数W上的所有n阶对称矩阵构成的向量空间的维数为     

6    是向量空间V的一个基,线性变换s在此基下对应的矩阵为,则s在基下对应的矩阵为         

7如果A是正交矩阵,k为实数,要使kA为正交矩阵,则k等于           

8.数域F上任意一个n维向量空间都与            同构。

9.设V为线性空间, AV上的线性变换。则它的子集W成为VA-子空间必须满足的两个条件是 W关于V中的加法与数乘封闭     .                    

 

.(14)在线性空间(P为数域),有两组基

     

. 的过渡矩阵为,求基在基 

             

的坐标。并求 在基下的坐标。

解:据已知,,而由的坐标知,到所以

因此基在基上的坐标分别为1-21),(-112),(101)(8分)

由上,在基 下的坐标为1-14,(10分)又

所以在基下的坐标为

14分)

 

 

 

 

 

三.(12分)设矩阵A=的特征多项式有一个二重根,求a的值,并讨论A能否对角化

 

:A的特征多项式为 |lE-A|=2分)==(l-1)

=(l-1)(l2-3l -a-2)  4分)

(1) l=1是特征方程的二重根,则有 12- 3 – a - 2=0 解得a= -4.  6分)

a= - 4时,A的特征值为1,1,2, 矩阵I-A=的秩为1,故l=1对应的线性无的特征向量有两个,从而A可相似对角化。(8分)

(2) l=1不是特征方程的二重根,则l2-3l -a-2为完全平方,从而9+4a+8=0,解得a = - 17/4

10分)当a = - 17/4时,A的特征值为13/23/2,矩阵 I-A=, 秩为2,故l=3/2对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化。(12分)                   ÿ

 

 

四.(10)  a1=(1,0,2,1), a2=(1,1,0,0), b1=(1,0,1,0), b2=(0,0,0,2),

   求:(1) L(a1,a2)L(b1,b2)的维数;

       (2) L(a1,a2) + L(b1,b2)的维数;

       (3) L(a1,a2)ÇL(b1,b2) 的维数.

 

解:(1)因为a1,a2线性无关,所以L(a1,a2)的维数为2,因为b1,b2线性无关,所以L(b1,b2)  的维数也为2

2

 

[] (1).因为a1 ,a2线性无关,所以dim L(a1 ,a2)= 2 .2分)

         因为b1 ,b2线性无关,所以dim L(b1 , b2)= 2   4分)

     (2) 因为  a1 a2b1,b2 线性无关 .

         所以dim (L(a1 ,a2)+ L(b1 , b2)) = 4 .7分)

     (3) 根据维数公式,dim (L(a1 ,a2)Ç L(b1 , b2)) = 2+2-4 = 0 . 10分) 

                

 

五.(10分)在欧氏空间R3里找出单位向量h,使它们同时与向量a1=(2,2,-4), a2=(1,1,2)正交。

[](1) 设所求的向量为 h=(x1,x2,x3), 1分)则: 4分)

6分)

 解为h1=(-1,1,0)  8分)

单位化 h=(-1,1,0) 为所求的。(10分)

 

六.(12分)e1,e 2,e3,e4 是四维线性空间V的一组基,已知线性变换 s 在这组基下的矩阵为

   A =    s 的核与值域

[] A = 2分)  4分)

则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系为 h1=  h2= 6分)

a1=2e1+e2 ,  a2= -41e1+15e3+e4 ,  7分) s 的核为  ker(s) = L(a1, a2)  9分)

      因为A的列向量组的最大无关组为A第一列与第三列,

b1=e1+2e 2+6e3+7e4 ,  b2=3e1+5e 2+17e3+18e4 10分)  所以s的值域为 Im(s)=L(b1 , b2) 。(12分) ÿ

 

七.(12)证明题

1证明:如果n维线性空间V中两个子空间V1 V2的维数之和大于n,那么V1V2含有非零的公共向量。

证明:因为 dim(V1+V2) + dim(V1ÇV2) = dimV1 + dimV2 > n 2分)

       V1+V2 V的子空间,所以 dim(V1+V2) £ n   3分)

      于是   dim(V1ÇV2) > 0  5分)

      所以 V1ÇV2 中含有非零向量,即V1V2含有非零的公共向量。 6分)    

 

2是线性空间V的一个线性变换,且k>0,求证线性无关。

证明:设,满足

 2分)

两边同时作用,据,得,又据=0,(4分)因此有,对上式两端同时作用,同理可以证得=0。(5分)依此类推,可得,=0,从而线性无关。(6分)

 

                                                                                  

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