一.填空 (30分,每空3分)
1.Rn的子空间V={(x1,x2,…,xn) | x1+x2+…+xn=0}的维数是 n-1 。
2.A是数域P上一个n´n矩阵,f(l)=|lE-A|是A的特征多项式,则f(A)= O .
3.设 s 是n维线性空间V的线性变换,则 s 的秩+ s 的零度 = n .
4.已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为0,2,4,5,其中 E为四阶单位矩阵,则|B-E| = -12 .
5.数域W上的所有n阶对称矩阵构成的向量空间的维数为 。
6. 设是向量空间V的一个基,线性变换s在此基下对应的矩阵为,则s在基下对应的矩阵为 。
7.如果A是正交矩阵,k为实数,要使kA为正交矩阵,则k等于
。
8.数域F上任意一个n维向量空间都与 同构。
9.设V为线性空间,
A为V上的线性变换。则它的子集W成为V的A-子空间必须满足的两个条件是 W关于V中的加法与数乘封闭
和 .
二.(14分)在线性空间(P为数域)中,有两组基
与. 到的过渡矩阵为,求基在基
的坐标。并求 在基下的坐标。
解:据已知,,而由的坐标知,到,所以
因此基在基上的坐标分别为(1,-2,1),(-1,1,2),(1,0,1)(8分)。
由上,在基 下的坐标为(1,-1,4),(10分)又
所以在基下的坐标为
(14分)
三.(12分)设矩阵A=的特征多项式有一个二重根,求a的值,并讨论A能否对角化。
解:A的特征多项式为 |lE-A|=(2分)==(l-1)
=(l-1)(l2-3l -a-2) (4分)
(1) 当l=1是特征方程的二重根,则有 12- 3 – a - 2=0 解得a= -4. (6分)
当a= - 4时,A的特征值为1,1,2, 矩阵I-A=的秩为1,故l=1对应的线性无的特征向量有两个,从而A可相似对角化。(8分)
(2) 若l=1不是特征方程的二重根,则l2-3l -a-2为完全平方,从而9+
(10分)当a = - 17/4时,A的特征值为1,3/2,3/2,矩阵 I-A=, 秩为2,故l=3/2对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化。(12分) ÿ
四.(10分) 设 a1=(1,0,2,1), a2=(1,1,0,0), b1=(1,0,1,0), b2=(0,0,0,2),
求:(1) L(a1,a2)与L(b1,b2)的维数;
(2) L(a1,a2) + L(b1,b2)的维数;
(3) L(a1,a2)ÇL(b1,b2) 的维数.
解:(1)因为a1,a2线性无关,所以L(a1,a2)的维数为2,因为b1,b2线性无关,所以L(b1,b2) 的维数也为2。
(2)
[解] (1).因为a1
,a2线性无关,所以dim L(a1
,a2)= 2
.(2分)
因为b1
,b2线性无关,所以dim L(b1
, b2)= 2 (4分)
(2) 因为 a1
,a2,b1,b2
线性无关 .
所以dim (L(a1
,a2)+ L(b1
, b2)) =
4 .(7分)
(3) 根据维数公式,dim (L(a1
,a2)Ç L(b1
, b2)) =
2+2-4 = 0 . (10分)
五.(10分)在欧氏空间R3里找出单位向量h,使它们同时与向量a1=(2,2,-4), a2=(1,1,2)正交。
[解]:(1) 设所求的向量为 h=(x1,x2,x3), (1分)则: (4分)
→→(6分)
解为h1=(-1,1,0) (8分)
单位化 h=(-1,1,0) 为所求的。(10分)
六.(12分)设 e1,e 2,e3,e4 是四维线性空间V的一组基,已知线性变换 s 在这组基下的矩阵为
A = 求 s 的核与值域。
[解] A = →(2分)→ (4分)
则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系为 h1= h2= (6分)
令 a1=2e1+e2 , a2= -41e1+15e3+e4 , (7分) 则 s 的核为 ker(s) = L(a1, a2) (9分)
因为A的列向量组的最大无关组为A第一列与第三列,
令 b1=e1+2e 2+6e3+7e4 , b2=3e1+5e 2+17e3+18e4 (10分) 所以s的值域为 Im(s)=L(b1 , b2) 。(12分) ÿ
七.(12分)证明题
1.证明:如果n维线性空间V中两个子空间V1 ,V2的维数之和大于n,那么V1,V2含有非零的公共向量。
证明:因为 dim(V1+V2) + dim(V1ÇV2) = dimV1 + dimV2 > n (2分)
又 V1+V2 是V的子空间,所以 dim(V1+V2) £ n (3分)
于是 dim(V1ÇV2) > 0 (5分)
所以 V1ÇV2 中含有非零向量,即V1,V2含有非零的公共向量。 (6分)
2.设是线性空间V的一个线性变换,且(k>0),求证线性无关。
证明:设,满足
(2分)
两边同时作用,据,得,又据得=0,(4分)因此有,对上式两端同时作用,同理可以证得=0。(5分)依此类推,可得,=0,从而线性无关。(6分)
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