高等代数2试卷2B答案
一、填空(每空3分,共30 分)
1.数域P中的维数不大于n的线性空间依同构分类,分 n 类。
2.若V1,V2是线性空间V的两个有限维子空间,则dimV1+dimV2_ __dim(V1+V2), 当且仅当 时,取等号。
3.若n维线性空间V中的线性变换的秩为r ,那么的值域的维数为
r
4. 设三阶方阵A的三个特征值为1,a,-2,且= 6,则a= -3 .
5.若3是矩阵A的特征值,则的特征值中必有 2/3 .
6.初等因子对应的若尔当块为 ,初等因子对应的若尔当块为 .
7.标准正交基的度量矩阵为 单位矩阵 .
8.在n维欧氏空间V中,若子空间的维数为r ,则其正交补的维数为 n-r
。
二、(15分)在线性空间R4中,求向量(1,1,1,1)在基
A: (1,0,0,0) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1)
下的坐标。并求基A到基B: (1,0,0,0) (1,1,0,0) (1,1,1,0) (1,1,1,1) 的过渡矩阵。
解:依题意,(1,1,1,1)在基C:
下的坐标为(1,1,1,1)。(2分)而C 到 A的过渡阵为 (5分)
因此(1,1,1,1) 在基A下的坐标为
(8分)
另外,因为由已知,C到B的过渡矩阵为(10分)
所以 A 到B 的过渡阵为
(15分)
三、(15分)设实数域上线性空间的线性变换在某组基下的矩阵为.求它在正交变换下的标准形(要求写出正交变换)。
解: (4分)
令上式等于零,得特征值1,10。(5分)
当时,求得对应的特征向量为。(7分)它们是正交的,单位化得
(9分)
当 时,求得对应的特征向量为。单位化得。(11分)
因此正交变换的矩阵为。(13分)
标准形为。(15分)
四.(15分)若数域P中的线性空间V的线性变换A在基
下的矩阵为
求A的值域与核及其维数。
解:1)据概念,有
A (3分)
因为A的值域为L(A,A,A,A)。因此
(6分)
A的秩为3。(7分)从上可见,A,A,A,线性无关。(8分)所以A的值域的维数为3。且
A的值域为L(A,A,A) (9分)
2)设 为A的核中的任一元素。则
(11分)
得通解:。(14分)这就是核中的所有元素。核的维数为1。(15分)
五.(15分)已知
是R的两个子空间,求W1∩W2, W1+W2的基与维数。
证明:W1∩W2=
。(2分)因为对W1∩W2中的任意元
,都可以表示成的形式,(5分)所以W1∩W2
的基为,维数为1。(7分)
,(8分)因为中的元素可以表示成
(11分)
而易见
这三个向量线性无关,(13分)因此W1+W2 的基为 ,维数为3。(15分)
六、(10分)设A是维线性空间的一个线性变换,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
证明:设A有r个特征向量,它们分别属于r个不同的特征值:
再设存在一组数 ,使
(2分)
现在设线性相关,不妨设全不为零。(4分)
对两边作线性变换A,得
继续作线性变换A,得。
重复上面的步骤,得
(7分)
将上面的式子合起来,得
=0(8分 )
因为为范德蒙行列式对应的矩阵,所以它可逆。上式成为
矛盾!因此 线性无关(10分)
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