高等代数2试卷2B答案                     返回 

 

一、填空(每空3,30 分)

 

1.数域P中的维数不大于n的线性空间依同构分类,  n    类。

2V1V2是线性空间V的两个有限维子空间,则dimV1+dimV2_   __dim(V1+V2),                 当且仅当      时,取等号。

3.n维线性空间V中的线性变换的秩为r ,那么的值域的维数为  r   

4设三阶方阵A的三个特征值为1a-2,且= 6,a=   -3   .

5.3是矩阵A的特征值,的特征值中必有  2/3   .

6.初等因子对应的若尔当块为     ,初等因子对应的若尔当块为     .

7.标准正交基的度量矩阵为   单位矩阵    .

8.n维欧氏空间V,若子空间的维数为r ,则其正交补的维数为  n-r 

 

二、(15分)在线性空间R4中,求向量(1,1,1,1)在基

                  

A:  (1,0,0,0)    (1,1,0,0)   (1,0,1,0)   (1,0,0,1)

 

下的坐标。并求基A到基B:  (1,0,0,0)  (1,1,0,0)  (1,1,1,0)  (1,1,1,1) 的过渡矩阵。

 

解:依题意,(1,1,1,1)在基C:

                 

下的坐标为(1,1,1,1)。(2分)而C A的过渡阵为 5分)

            

因此(1,1,1,1) 在基A下的坐标为

8分)

    另外,因为由已知,CB的过渡矩阵为10分)

所以 A B 的过渡阵为

15分)

 

 

三、(15分)设实数域上线性空间的线性变换在某组基下的矩阵为.求它在正交变换下的标准形(要求写出正交变换)

解: 4分)

令上式等于零,得特征值110。(5分)

时,求得对应的特征向量为。(7分)它们是正交的,单位化得

 

9分)

 时,求得对应的特征向量为。单位化得。(11分)

    因此正交变换的矩阵为。(13分)

标准形为。(15分)

                

.(15)若数域P中的线性空间V的线性变换A在基

                          

下的矩阵为

                    

 A的值域与核及其维数。

 

解:1)据概念,有

A   3分)

因为A的值域为LAAAA)。因此

  6分)

 

A的秩为3。(7分)从上可见,AAA线性无关。(8分)所以A的值域的维数为3。且

                  A的值域为LAAA) (9分)

2)设 A的核中的任一元素。则

                         11分)

得通解:。(14分)这就是核中的所有元素。核的维数为1。(15分)

 

 

.(15)已知

                                       

R的两个子空间,W1W2, W1+W2的基与维数。

证明:W1∩W2= 。(2分)因为对W1∩W2中的任意元 ,都可以表示成的形式,(5分)所以W1∩W2 的基为,维数为1(7)

    8分)因为中的元素可以表示成

11分)

而易见

这三个向量线性无关,(13分)因此W1+W2 的基为 ,维数为3。(15分)

 

 

六、(10分)A维线性空间的一个线性变换,证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关.

证明:设Ar个特征向量,它们分别属于r个不同的特征值:

再设存在一组数 ,使

2分)

现在设线性相关,不妨设全不为零。(4分)

对两边作线性变换A,得

              

继续作线性变换A,得

重复上面的步骤,得

7分)

将上面的式子合起来,得

     =08 

因为为范德蒙行列式对应的矩阵,所以它可逆。上式成为

矛盾!因此  线性无关(10分)

                                                           

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