高等代数2试卷1B答案       返回

一、填空（30分）：

1.在欧氏空间R³（R为实数集，内积为常见的内积）中向量（1，2，2）的长度为 3 .

2．若V₁与V₂ 为8维线性空间V的子空间。且维数分别为2与3 .当时，

的维数为 5 .

3. 设是向量空间V的一组基，线性变换s在此基下对应的矩阵为，则s在基下对应的矩阵为 .

4．设矩阵的若当标准型为，则此矩阵的初等因子为 .

5. 设三阶方阵A的三个特征值为1，1，2，则= 6 .

6．正交的向量组必为 线性无关 向量组。

7.V为线性空间，A为V上的可逆的线性变换，W为V的A-子空间，则AW= W .

8. 设A与B均为实数域上的n阶方阵,A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 等价

9.标准正交基中的每一个向量的长度为 1 。

10.正交变换将标准正交基变成 标准正交基 。。。

二、（15分）设是3维线性空间V的一组基, 线性变换A在这组基下的矩阵为

1. 求A在基 下的矩阵；

2. 求A的特征值与特征向量.

解：1.由已知，得

（3分）

据已知，基到基的过渡矩阵为。（6分）

所以A在基下的矩阵为

（10分）

2．令，得。因此其特征值为0，5，-5。（15分）

三（10分）设V是n维欧氏空间，a ¹ o是V中一个固定向量.证明：

1. U = { b | ( b, a ) =o, bÎV }是V的一个子空间；

2. U的维数等于n -1.

证明：1.只须证明U作为线性空间为V的子空间。

任取，据U的规定。有因此

所以.（3分）

任取R，因为，所以.（5分）

因U作为线性空间V的子集关于加法与数乘封闭，所以U 是V 的作为线性空间的子空间。最终U为V的作为欧氏空间的子空间。（6分）

2．设a生成的空间为W.则据U的规定,U为W的正交补。而W的维数显然为1，所以U的维数为n-1.（10分）

四．（15分）设A是线性空间V的可逆线性变换，则

1) A的特征值必不为0；

2) 如果l是A的特征值，那么是A²的特征值。

证明：1）设B为线性变换A在某基下的矩阵。因为可逆的线性变换对应的矩阵为可逆矩阵，所以B为可逆的矩阵。（2分）

设 的特征值为，则存在可逆矩阵P，使

（5分）

上式两端同时作行列式运算，得：

即（8分）

因为B可逆，所以|B| .因此特征值非零。（10分）

2)如果l是A的特征值，那么存在非零向量，使得。（12分）

对上式两边同时作线性变换A，得

所以是的特征值。（15分）

五．（15分）在线性空间R⁴中，求向量(1,1,1,1)在基

A: (1,0,0,0) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1)

下的坐标。并求基A到B: (2,0,0,0) (0,2,0,0) (0,0,2,0) (0,0,0,2) 的过渡矩阵。

解：设R⁴中的标准正交基为：

C：（2分）

由C到A的过渡矩阵为，（5分）

所以（1，1，1，1）在A下的坐标为=（8分）

因为基C到A的过渡矩阵为

因此A 到C 的过渡矩阵为(11分)

而C到 B的过渡阵为（13分）.所以A 到 B 的过渡阵为

（15分）

六． （15分）求二次型的标准型

解：因为

令 ，则

因此此二次型的标准型为 其非退化的线性替换为

　

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