高等代数2试卷1B答案       返回 

 

 

一、填空(30分):

1.在欧氏空间R3R为实数集,内积为常见的内积)中向量(122)的长度为 3    .       

2.若V1V2 8维线性空间V的子空间。且维数分别为23 .时,   

的维数为   5       .     

3.         是向量空间V的一组基,线性变换s在此基下对应的矩阵为,则s在基下对应的矩阵为      .

4.设矩阵的若当标准型为,则此矩阵的初等因子为           .

5.       设三阶方阵A的三个特征值为112,则=    6  .

6.正交的向量组必为  线性无关    向量组。

 

7.V为线性空间,AV上的可逆的线性变换,WVA-子空间,则AW=  W   .

 

8. AB为实数域上的n阶方阵,AB似的充分必要条件是它们的特征矩阵            等价     

 

9.标准正交基中的每一个向量的长度为    1    

 

10.正交变换将标准正交基变成    标准正交基    。。

 

 

 

 

 

二、(15分)设3维线性空间V的一组基, 线性变换A在这组基下的矩阵为

                  

1. A在基 下的矩阵;

2. A的特征值与特征向量.

 

解:1.由已知,得

         3分)

据已知,基到基的过渡矩阵为。(6分)

所以A在基下的矩阵为

          10分)

 

 

2.令,得。因此其特征值为05-5。(15分)

 

 

 

 

 

三(10分)设Vn维欧氏空间,a ¹ oV中一个固定向量.证明:

1. U = { b | ( b, a ) =o, bÎV }V的一个子空间;

2. U的维数等于n -1.

 

证明:1.只须证明U作为线性空间为V的子空间。

     任取,据U的规定。有因此

               

所以.3分)

     任取R,因为,所以.5分)

     U作为线性空间V的子集关于加法与数乘封闭,所以U V 的作为线性空间的子空间。最终UV的作为欧氏空间的子空间。(6分)

2.设a生成的空间为W.则据U的规定,UW的正交补。而W的维数显然为1,所以U的维数为n-1.10分)

                 

 

 

 

 

四.15分)设A是线性空间V的可逆线性变换,则

1)      A的特征值必不为0

2)      如果lA的特征值,那么A2的特征值。

证明:1)设B为线性变换A在某基下的矩阵。因为可逆的线性变换对应的矩阵为可逆矩阵,所以B为可逆的矩阵。(2分)

的特征值为,则存在可逆矩阵P,使

                 5分)

 

上式两端同时作行列式运算,得:

8分)

因为B可逆,所以|B| .因此特征值非零。(10分)

 

2)如果lA的特征值,那么存在非零向量,使得。(12分)

 对上式两边同时作线性变换A,得

所以的特征值。(15分)

 

 

 

 

五.(15分)在线性空间R4中,求向量(1,1,1,1)在基

      A:  (1,0,0,0)    (1,1,0,0)   (1,0,1,0)   (1,0,0,1)

下的坐标。并求基AB:  (2,0,0,0)  (0,2,0,0)  (0,0,2,0)  (0,0,0,2) 的过渡矩阵。

解:设R4中的标准正交基为:

   C2分)

CA的过渡矩阵为,(5分)

所以(1111)在A下的坐标为=8分)

   因为基CA的过渡矩阵为

                        

因此A C 的过渡矩阵为(11)

C B的过渡阵为13分).所以A B 的过渡阵为

15分)

 

 

 

 

 

 

六. 15分)求二次型的标准型

解:因为

   ,则

因此此二次型的标准型为  其非退化的线性替换为

 

                                                            

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