高等代数2试卷4A答案      返回

一、（30分）选择题

1．设，则下列结

论不成立的是 （ B ）

A. B. 是直和

C. D.是直和

2． 设矩阵A=与 D=相似，则x= （ A ）

A.1 B.-1 C.2 D.不能确定

3．下列不是判断线性空间的必选项的是 （ B ）

A．加法有交换律 B. 任一向量都有长度

C. 必有零向量 D. 任一向量都有负向量

4. 与均为线性空间的子空间，则下列条件中不能断定为直和的是 ( C )

A. B. 的维数=的维数+的维数

C. D.零向量在中的表示法唯一

5.关于若尔当标准形，下列说法正确的是 （ D ）

A. 若线性变换只有一个特征值，则它对应只有一个若尔当块

B. 全为一级若尔当块的若尔当标准形只有一个特征值

C．若为特征多项式的2重根，则对应有2个若尔当块

D．对角形是若尔当标准形的一种

6.若在复数域中,，且的首项系数均为1，则的标准形为 （ D ）

A. B. ;

C. D.

7．设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到下面何组基的过渡矩阵 （ A ）

A. B. C． D.

8.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是 （ C ）

A.； B.； C． ； D.

9. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 （ B ）

A..充要条件；B.充分而非必要条件；．必要而非充分条件；.既非充分也非必要条件

10、已知下列变换是R上的线性变换，其中是正交变换的是 （ C ）A.

B.

C.

D.

二．（12分）设3维线性空间的基为

求:1）对此基正交规范化成为基.2）到的过渡矩阵。

解：1）令，（2分）

（4分）

（7分）

得，，为所求。(8分)

2）据前面的步骤，有

（11分）

所以过渡阵为（12分）

三．(14分)已知A（求导函数）为线性空间R（实数域上次数小于n的多项式的全体）上的线性变换，求：1）它在基下的矩阵。2）求上述矩阵的若尔当标准形。

解：1）因为A1=0，A=1，A=，…, A （4分，每等式1分）

所以（6分）

为所求。（7分）

2）

（9分）

且

A的行列式因子为：1，1，…,1,（11分）

A的初等因子为：（12分）

所以A的若当标准形为（14分）

四．（10分）设

，求及的基。

解：1),（2分）而

因为的秩为3，最大无关组.所以（5分）

2)设为中的任一元素，则

（6分）

即，即，（8分）

而

得基础解系

（9分）

所以的基为（或）.（10分）

五．（10分）设是的子空间，求.

解：任意取，则有

((1,0,0),(x,y,z))=((0,2,0),(x,y,z))=0 （5分）

即：

（8分）

所以={(0,0,z)|.（10分）

六．（8分）设l₁, l₂是线性变换A的两个不同特征值，e₁, e₂是分别属于l₁, l₂的特征向量；证明：e₁+e₂不是A的特征向量。

证明：据已知，设A，（1分）那么，（2分）

假设 （4分）

则有 （5分）

即，因为l₁, l₂不同，所以，因此它们不全为零。从而可得线性相关。（6分）这与线性变换不同的特征值对应的特征向量线性无关矛盾。所以e₁+e₂不是A的特征向量。（8分）

七．（8分）证明：设是向量空间V的两个子空间，那么它们的和也是的一个子空间。

证明：只需要证明关于加法与数乘封闭：（2分）

任意取，则存在，使得，（3分）因此

（5分）

对于任意的，有 .

所以为V的一个子空间。（8分）

八．(8分)设A为m阶实对称矩阵，特征值为，B为m阶正交矩阵，证明：为实对称阵且正定。

证明：首先因为，所以为实对称。（2分）又，所以为实对称.(4分)

因为为实对称阵，所以存在正交阵P，使得

（6分）

所以有

据已知，可得正定。（8分）

　

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