高等代数1试卷1B答案

 

一. 填空题(21分,每空3

1.已知,其中,则_______

2.设都是阶可逆阵,,则______

3.设是一个矩阵,是一个矩阵,那么是一个_____阶矩阵,它的第i行第j列元素为________

4.设,则A的秩为       3    

5.设都是可逆矩阵,矩阵C=AB的逆矩阵可表示为________

6.设方阵,且,则行列式_____4___

二.选择题(24分,每题3分)

1矩阵,矩阵,若的第列元素全为零,则下列结论正确的是(A

A的第列元素全等于零  B的第行元素不全等于零

C的第列元素全等于零  D的第行元素不全等于零

2均为阶方阵,阶单位矩阵,若,则有                (C)

(A)   B  C  D

3.设5阶方阵,且,则=                                      D

A    B   C   D

4.设的伴随阵,则                                     C

(A)E  (B)|A|   (C)|A|E    (D) 以上均不对

5.设是两个矩阵,n阶方阵,那么                           D

(A)            (B)

(C)   (D)

6.设,则                                                 ( A )

(A)      (B)      (C)      (D)

7.若可逆,则的解是=                                     C

(A) 不存在  (B)   (C)   (D)

8.设,若,则P=                        ( A )

(A)      (B)

(C)      (D)

三.(8分)解矩阵方程

  

 

 

 

解:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

所以     (写对第一个矩阵2分,其余矩阵1分,最后结果2)

四.(5分)计算行列式

(每个等式1分)

五(10分)求线性方程组

的通解。

解:增广矩阵为:

(第一个与最后一个矩阵各2分,其余各1分,共6分)

所以方程组有解。其同解方程组为:

                                2分)

由此得方程组的通解:

为任意实数)   2分)

 

六(8分)判别下列二次型的正定性:  

          

解:二次型对应的矩阵为:

       2分)

其一阶顺序主子式为:10>0.1分)

其二阶顺序主子式为:。(2分)

其三阶顺序主子式为:=2分)

所以此二次型是不定的。(1分)

七.(6分)设阶可逆阵,调换的第列与第列得到矩阵.求证可逆。

证明:设A对应的列向量组为:.因为A可逆,所以A 满秩,即

的秩为n.(30而调换A i 列与 j列后得到 B 对应的列向量组仍为。因此 B 的列秩为n (2)即有 B 为可逆阵。(1)

八.(8分) 证明:若向量组的秩为3,且此向量组与向量组

等价,则向量组的秩为3.

证明:因为向量组的秩为3,所以其最大无关组有3个向量。不妨设为其最大无关组。 2分)

      据向量组的最大无关组与原向量组等价,且已知等价,可得等价。(2分)所以能被线性表示。综上,能被线性表示。(2)而且线性无关。所以的线性无关组。故的秩为3.(2)

(10)证明:设是数域上的不可约多项式, 在复数域上没有重根. 此命题的逆命题是否成立? 为什么?

证明:因为作为不可约多项式,其因式为cc。(2分)

     另一方面,因为,所以

。从而在复数域上没有重根。(4分)

     此命题的逆命题不成立。反例:

     ,显然在复数域上有四个根:.但它是实数域上的不可约多项式:

      4分)