高等代数1试卷1B答案
一. 填空题(21分,每空3分)
1.已知,其中,则_______。
2.设都是阶可逆阵,,则______。
3.设是一个矩阵,是一个矩阵,那么是一个_____阶矩阵,它的第i行第j列元素为________。
4.设,则A的秩为 3 。
5.设,都是可逆矩阵,矩阵C=AB的逆矩阵可表示为________。
6.设方阵,且,则行列式_____4___。
二.选择题(24分,每题3分)
1.是矩阵,是矩阵,若的第列元素全为零,则下列结论正确的是(A)
(A)的第列元素全等于零 (B)的第行元素不全等于零
(C)的第列元素全等于零 (D)的第行元素不全等于零
2.均为阶方阵,为阶单位矩阵,若,则有 (C)
(A) (B) (C) (D)
3.设是5阶方阵,且,则= (D)
(A) (B) (C) (D)
4.设是的伴随阵,则为 (C)
(A)E (B)|A| (C)|A|E (D) 以上均不对
5.设,是两个矩阵,是n阶方阵,那么 (D)
(A) (B)
(C) (D)
6.设,则 ( A )
(A) (B) (C) (D)
7.若可逆,则的解是= (C )
(A) 不存在 (B) (C) (D)
8.设,若,则P= ( A )
(A) (B)
(C) (D)
三.(8分)解矩阵方程
解:
所以 (写对第一个矩阵2分,其余矩阵1分,最后结果2分)
四.(5分)计算行列式
(每个等式1分)
五(10分)求线性方程组
的通解。
解:增广矩阵为:
(第一个与最后一个矩阵各2分,其余各1分,共6分)
所以方程组有解。其同解方程组为:
(2分)
由此得方程组的通解:
为任意实数) (2分)
六(8分)判别下列二次型的正定性:
解:二次型对应的矩阵为:
(2分)
其一阶顺序主子式为:10>0.(1分)
其二阶顺序主子式为:。(2分)
其三阶顺序主子式为:=(2分)
所以此二次型是不定的。(1分)
七.(6分)设是阶可逆阵,调换的第列与第列得到矩阵.求证可逆。
证明:设A对应的列向量组为:.因为A可逆,所以A 满秩,即
的秩为n.(3分0而调换A 的 i 列与 j列后得到 B 对应的列向量组仍为。因此 B 的列秩为n 。(2分)即有 B 为可逆阵。(1分)
八.(8分) 证明:若向量组的秩为3,且此向量组与向量组
等价,则向量组的秩为3.
证明:因为向量组的秩为3,所以其最大无关组有3个向量。不妨设为其最大无关组。 (2分)
据向量组的最大无关组与原向量组等价,且已知与等价,可得与等价。(2分)所以能被线性表示。综上,能被线性表示。(2分)而且线性无关。所以是的线性无关组。故的秩为3.(2分)
九 (10分)证明:设是数域上的不可约多项式, 则在复数域上没有重根. 此命题的逆命题是否成立? 为什么?
证明:因为作为不可约多项式,其因式为c或c。(2分)
另一方面,因为,所以
故。从而在复数域上没有重根。(4分)
此命题的逆命题不成立。反例:
,显然在复数域上有四个根:.但它是实数域上的不可约多项式:
(4分)