高等代数1试卷4A答案

 

一、选择题 (每题3分,共30分)

 

1．下列哪一个排列是四级偶排列                                           （ C ）

  (A)1324             (B)4123            (C) 4132            (D)2341

2.下列数集中关于数的四则运算有几个是数域                                  ( B  )

(A)4　        　　(B)3       　　     (C)2               　(D)1

3．设n阶方阵A与B只是第j列不同，则 |A+B|等于                          (  A )

(A)2 n-1 (|A|+|B|)       (B)2 (|A|+|B|)        (C)2 n (|A|+|B|)      (D)|A|+|B|

4.二次型为                                  （ A  ）

(A)半正定的   （B）正定的     (C)不定的        (D)不能确定

5. 设A是n阶可逆矩阵(n³2)，A*是A的伴随矩阵，则下列哪一个必成立：       ( B )

(A)  (A*)*=|A|n-1A     (B)(A*)*=|A|n-2A     (C)(A*)*=|A|n+1A    (D)(A*)*=|A|n+2A

6. 设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于第一行第二列的元素是 ( B  )

(A) -6              (B) 6                (C) 2               (D)  -2

7.               (  C )

(A) 3              (B) 0               (C) -2                 (D)-3

8.  若A是n阶可逆矩阵，则下列命题中错误的是                             (  D )

(A)  必可逆                              (B)A2  必可逆  

(C)-2A 必可逆                             (D)A+E 必可逆

9.多项式为                                             （ C ）

(A)不可约的本原多项式     (B)可约的本原多项式

(C)不可约的非本原多项式  (D)可约的非本原多项式

10. 已知矩阵

则 B=                                                                    (   A)

(A)AP               (B)QA                 (C)PA                (D)AQ

               

 

二、求解（12分，每题6分）

 

1．求下列行列式的值

 

解：原式=

（6分）

2．求矩阵的逆


解：这是一个分块对角阵。它的逆为

 

 

其中。（3分）而（5分）

故原矩阵的逆为。（6分）

 

 

三、（12分）讨论a,b取什么值时下列线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解。

解：方程组的增广阵：

(4分)

现在分情况讨论：

1）当且即时，方程无解。（6分）

2）当时，方程有唯一解。（8分）

3）当时，方程有无穷多解。（10分）此时增广阵：

由此可以得到通解：

（c为数域P中任意数）（12分）

                        

 

四、（10分）求向量组=(0,0,2,3), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(1,0,1,0)的一个极大线性无关组。

解：（6分）

因为上面的矩阵的秩为3，（8分）且第1，2，4列线性无关。所以极大无关组为

（10分）

    

 

 

五．（10分）求下列实二次型的标准形，并指出其正惯性指数和负惯性指数。

f(x1, x2,x3)= x12+4x1 x2+2 x1x3+4x22+4 x2 x3+3x32

解：用配方法：

   f(x1, x2,x3)=（x1+2x2+x3）2+2x32（3分）

令 （6分）

得：f(x1, x2,x3)= （8分）

其正惯性指数为2，负惯性指数为0。（10分）

 

 

 

 

 

 

六．(10分)(1) 叙述艾森斯坦判别法；

（2）设f(x)=x5+5x+1，判别 f(x) 在有理数域上是否不可约？

解：(1) 设f(x) 是整系数多项式，如果存在素数p，满足以下三个条件：（2分）

p不整除首系数；p整除首系数外的一切系数；p2不整除常数项；

那么f(x)为有理数域上不可约多项式。（4分）

(2) 令x=y -1，代入f(x)=x5+5x+1，得 g(y)=f(y -1)=y5-5y4+10y3-10y2+10y - 5，（6分）

取素数p=5，（8分）p关于g(y)满足艾森斯坦因判别法三个条件，所以g(y)在有理数域上不可约，于是f(x)在有理数域上也是不可约。（10分） ÿ

 

 

 

 

 

 

七.证明题（16分）

1．(6分)设A为n阶反对称矩阵，即A= -A，证明：当n为奇数时，|A|=0.

证明：据A= -A，两边同时做行列式运算，则

              （3分）

因为n为奇数，所以。（5分）立即有。（6分）

 

2．(10分)设 a 是非齐次线性方程组AX=的一个特解，是其导出组AX=的一个

基础解系。令 .试证明：是线性方程组AX=的全部解向量的一个极大无关组。

证明：1. 据非齐次线性方程组的结构知 g1 , g2 , g3 是线性方程组AX=b的解向量。（2分）

2.  考察 k1g1+k2g2+k3g3=0  即  k1a+k2(a+x1)+k3(a+x2)=0 （4分）

整理得  (k1+k2+k3)a+k2x1+k3x3=0

两边乘以A得：   (k1+k2+k3)Aa+k2Ax1+k3Ax3=0

即 (k1+k2+k3)b=0  因为 b¹0,  所以 k1+k2+k3=0

于是  k2x1+k3x2=0  由于x1,x 2 一个基础解系，它们线性无关，所以 k2=k3=0

证得 g1 , g2 , g3  线性无关。 （6分）

  3. 设 b 是线性方程组AX=b的任意一个解，则 b-a 可以由x1,x 2线性表示，（7分）

设b-a= t1x1+t2x 2 ,   则 b= a+ t1x1+t2x 2 = (1-t1-t2)a + t1(a+x1) + t2(a+x2)

= (1-t1-t2)g1 + t1g2 + t2g3 ，所以 b 可以由g1 , g2 , g3 线性表示。（9分）

由1,2,3可得g1 , g2 , g3 是线性方程组AX=b的全部解向量的一个极大无关组。（10分） ÿ

 

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