高等代数试卷3A答案 返回

一、选择题（每题3分,共24分）

1． 多项式，则 （ C ）

(A)的次数为零当且仅当等于零；(B)的次数等于；

(C)的次数等于次数之和；(D)的次数小于次数之和。

2．下列集合可以构成数域的是 ( D )

(A)整数集; (B)正实数集; (C) 实数上的所有多项式; (D)

3．设非零的矩阵的行列式为零, 则 ( B )

(A)中至少有一行(列)元素全为零或至少有两行(列)元素对应成比例关系;

(B)齐次线性方程组有非零解;

(C)的行向量组和列向量组不可能都是线性相关的;

(D)线性方程组有无穷多解.

4.设, 两个维向量组 (1) 和 (2), 下述正确的是 ( A )

(A)若(1)可由(2)线性表出, 则(1)线性相关;

(B)若(1)可由(2)线性表出, 则(1)未必线性相关;

(C)若(1)可由(2)线性表出, 则当(2)线性无关时, (1)线性无关;

(D)若(1)可由(2)线性表出, 则仅当(2)线性相关时, (1)线性相关.

5．设线性方程组与线性方程组同解.则线性方程组无解的充分且必要条件是( B )

(A) 或; (B) 或; (C) 或;(D) 或.

6．设矩阵为的, 为的且,下述正确的是 ( D )

(A)当B不满秩时,必有C=O;

(B)当B满秩时,未必有C=O;

(C)当B不满秩时,必有CO;

(D) 当B满秩时,必有C=O

7.关于二次型,有下列四种说法:

(1)二次型的标准型存在且唯一;

(2)复数域上的二次型的标准型对应的矩阵是单位阵;

(3)正定的二次型是满秩的;

(4) 二次型的正惯性指数与负惯性指数的和为此二次型的秩.　　

上述说法中,正确的是 ( B )

(A) (1)和(2) (B) (3)和(4) (C) (2)和(3) (D)(1)和(4)

8.如果,那么 ( D )

（A）2M (B)-2M (C)8M (D)-8M

二.计算题(每题10分,共40分)

1．设, ,用除以做带余除法。

解:

x-1 （3分）

（6分）

（9分）

所以有 （10分）

2．求解矩阵方程,其中, .

解: 由,可以得到.(3分)

(7分)

所以(10分)

3． 取什么值时, 线性方程组

无解?有解?有解时,求出由基础解系表示的全部解.

解: 其增广阵:

(4分)

1)当时方程组无解 (6分)

2)当a=0,b=2时,方程组有解.(8分)特解:.齐次基础解系: .所以原方程的通解为数域P中任意值)(10分)

4.求下列矩阵的秩和一个最高阶非零子式.

解:

(4分)

因为原矩阵的阶梯型的阶梯数为4 ,所以原矩阵的秩为4,(7分)

最高阶非零子式为

(10分)

　

　

三.判断题(16分)

　　 分别判断下列两组向量组是否线性相关，若相关,则求其最大无关组;若无关,则增加一个向量使之仍无关.

(1)

(2)

解:(1) (2分)

.(4分)其秩为3.因此向量组线性相关.其秩为3.(6分)因为经过行变换后前三列线性无关,（7分）所以原向量组的最大无关组为.(8分)

(2)

(12分)

可见此向量组线性无关.(13分)增加向量,(14分)易见

.（15分）因而仍线性无关.(16分)

四.证明题(每题10分,共20分)

1.向量组与等价, 的秩为m,则

的秩也为m.

证明: 因为向量组是的部分组。又据与等价，即有可以被线性表示.(3分)，所以与等价。(6分)

根据等价的向量组同秩。而且已知的秩为m，所以的秩也为m.（10分）

2.设A,B是两个n 阶方阵,证明:

证明: “”因为，且AB,B分别为其系数矩阵。所以 AB与B等价。（3分）而等价的矩阵同秩，所以。（6分）

“”设为BX=0的一个解，即 ，则。所以BX=0的解空间包含在ABX=0的解空间内。（8分）

又已知，故BX=0 与ABX=0有相同向量个数的基础解系。任取BX=0的一个基础解系：.那么据上面的结论，它们也是ABX=0的一组解。因为基础解系线性无关，且个数符合ABX=0的基础解系的要求。所以也是ABX=0的一个基础解系。（9分）

齐次方程组的基础解系相同，则其解必相同。（10分）

　

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