高等代数1试卷2A答案 返回

一、填空题（每题3分，共18 分）

1．已知，其中，则_________。

2．设都是3阶可逆矩阵，，则________。

3．若齐次线性方程组有非零解,则 0 。

4．设，都是可逆矩阵，则矩阵的逆矩阵为________。

5．设方阵，且，则行列式_4__。

6.若是多项式的3重因式,则是的 1 重因式.

二．单项选择题（每题3分，共18分）

1．设，是两个矩阵，是n阶方阵，那么 ( D )

(A) (B)

(C) (D)

2．关于二次型，下列说法不正确的是 ( C )

（A）二次型一定可以通过非退化的线性替换变成标准型。

（B）正定的二次型一定是半正定的。

（C）二次型的标准型是唯一的。

（D）二次型的标准型中正次数项的项数是固定不变的。

3．设，若，则P= ( A )

(A) (B)

(C) (D)

4．若方阵可逆，则的解是= ( C )

(A) 不存在 (B) (C) (D)

5．均为阶方阵，为阶单位矩阵，若，则有 ( C )

(A) （B） （C） （D）

6.若向量组的秩为r,的秩为s, 向量组

的秩为t,则r,s,t的关系是 ( A )

(A)r+st (B)r+st (C)r+s>t (D)r+s<t

三．（8分）计算行列式

解:原式=(2分)=(4分)=-(6分)=-65(8分)

四．（10分）解矩阵方程

解:

(2分)

五．（12分）已知为三阶方阵且满足，

（1） 证明：可逆。

（2） 若，求矩阵.

(1).证明：

(2分)

A可逆

可逆 (4分)

(2)．解：由 可解得 (7分)

(10分)

(12分)

六．(10分)求t的值,使下列方程组有解,并求其通解。

解：由(5分)

要使方程有解，则需 (6分)

当时，原方程组等价于

则有特解：(7分) 而上述方程组得导出组秩为2，基础解系为： ， (9分)则方程组具有通解：++.其中， 为常数。(10分)

七．（8分）用辗转相除法求下列两个多项式的最大公因子。

(6分)

则和的公因子为1。(8分)

八．（8分）证明：已知向量组与 有相同的秩，证明： 与等价。

证明：不妨假设它们的秩都是t ,则有 tr ,又不妨设中的前t 个向量为最大线性无关组，(2分)则此向量组的向量都可由线性表示，而在中秩也是t，又知前t个向量线性无关，则此向量组中的向量都可以由线性表示。 (5分)

综上所述，和都可以由前t个向量线性表示，即它们具有相同的极大线性无关组，即两个向量组等价。 (8分)

九(8分)证明：正定的二次型对应的矩阵一定是满秩的。

证明：设这个正定的二次型所对应的矩阵为A，则可以找到一个可逆的矩阵C使 成为对角阵T，(3分)根据A的正定性，知此对角阵的对角线上的元素都大于0，即有=T且，(5分)由于 可逆，，，即

(7分)

所以矩阵是满秩的。(8分)

　

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