化繁为简考研高等数学专题全讲

                专题7 定积分的计算及微元法的应用

                                                作者：邹群

                                     关键词：计算定积分 牛顿莱布尼茨公式 变量替换 微元法

写作过程：这是邹老师写的第11个专题。 由于定积分的运算主要靠不定积分与牛顿莱布尼兹公式，因此此部分不作为单独的专题。本专题重点针对定积分微元法的应用，我们不但总结定积分，还总结所有积分的应用。

写作特色：微元法原是教材中的方法，而教材仅针对定积分作了总结。实际上无论何种积分均可以用微元法来总结，我们对此方法作了细致入微的阐述，并使得其操作性更强,彻底地解决了同学们构造积分式的难题。

         内容提要  极限的性质、闭区间上连续函数的系列性质、微分中值定理在微分类证明中的应用、各类不等式的证明.

    “化繁为简”导读  本专题包含两个部分.第一部分是定积分的计算，实际上，我们只要掌握了牛顿-莱布尼兹公式，定积分的计算就基本上变成了不定积分的计算.这里讲“基本上”的意思就是还有一小部分题目可以绕过不定积分,直接利用定积分的性质进行计算；第二部分是将积分的“微元法”（目前同济大学教材称为“元素法”）应用到几何或物理问题上.

说到微元法，在近些年《高等数学》的授课中，我们常弱化其思想，对其精髓，并不过多阐述，只是一带而过，仅仅要求同学们记忆通过微元法推导出来的公式而已.实际上,微元法本身才是同学们更应该重点掌握的！因为若是没有它，我们就没有办法将自己专业的知识通过极限的思想建立积分式. 因此我们做定积分，就只能局限于解决教材中的几类问题.针对考研而言，掌握微元法亦便于我们理解记忆所有与积分相关的公式.本专题不但总结定积分，而且总结重积分与曲线、曲面积分，其目的是让大家看到它们用到的都是微元法，只是“积”的因子不同而已，同时也便于比较学习，达到“化繁为简”的目的.

还有一点需要强调：本专题的“微元法”是下一个专题解题方法的理论基础.正因为如此，本专题的有些题型（如求面积）完全可以用下一个专题的“扫描定限法”来计算.

　

　

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                                                            邹群

                                                            2013.3.15